用不动点法求数列通项.doc

用不动点法求数列通项,不动点法求数列通项,不动点法求数列通项原理,特征根法求数列通项,不动点法求数列通项公式,不动点法求数列通项例题,不动点法求数列通项的证明,不动点法求数列通项视频,求数列通项公式的方法,不动点法求数列通项是高中内容吗定义:方程的根称为函数的不动点.
利用递推数列的不动点,可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法.
定理1:若是的不动点,满足递推关系,则,即是公比为的等比数列.
证明:因为是的不动点
由得
所以是公比为的等比数列.
定理2:设,满足递推关系,初值条件
(1):若有两个相异的不动点,则(这里)
(2):若只有唯一不动点,则(这里)
证明:由得,所以
(1)因为是不动点,所以,所以
令,则
(2)因为是方程的唯一解,所以
所以,所以
所以
令,则
例1:设满足,求数列的通项公式
例2:数列满足下列关系:,求数列的通项公式
定理3:设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,
证明: 是的两个不动点
即
于是,


方程组有唯一解
例3:已知数列中,,求数列的通项.
其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:
例4:已知且,求数列的通项.
解: 作函数为,解方程得的不动点为
.取,作如下代换:
逐次迭代后,得:
,切点为.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:
设为实数,是方程的两个实根,数列满足,,(…).(1)证明:,;(2)求数列的通项公式;(3)若,,求的前项和.
已知函数,是方程的两个根(),是的导数,设,.
(1)求的值;
(2)证明:对任意的正整数,都有;
(3)记,求数列的前项和
13陕西文21.(本小题满分12分)已知数列满足, .
令,证明:是等比数列; (Ⅱ)求的通项公式。