最佳一致逼近多项式.ppt

最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
在度量标准
下,求(x) ,使
即在H中(x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的,H中
任一ψ(x)与f(x)之差的绝对值都比它大,这样的(x)为
f(x)在H中的最佳一致逼近函数。
(达到最小),这就是最佳一致逼近(不要产生最大误差,均匀一些),通常仍然取(x)为多项式,即求多项式(x)使残差:
绝对值的最大值达到最小。
在H中求满足(x) (f 的逼近函数(x) ):
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二、Chebyshev定理
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推论2 设f(x)C[a,b],则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项
式Pn(x),就是f (x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插
值多项式。
证明∵Pn(x)有n+2个偏差点,亦即使f (x) -Pn (x)在[a,b]上至少有n+2个点交替换正负号,亦就是说f(x) Pn(x)=0在[a,b]上有n+1个根存在n+1个点:a  x0<…< xn  b使f (xi) Pn (xi)=0  即:f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,…,n) , 所以,以此作为插值条件可得到Pn(x),因此,Pn(x)就是以x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项式。
切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征,
并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法:
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三、最佳一致逼近多项式
x1
x2
M
m
y1
y2
X
Y
O
P0(x)

对于n=0的P0(x)有: P0(x) =(M+m)/2  其中M、m分别为f (x) 的最大值和最小值。
∵f(