三元-次方程与解法.doc

::由三个一次方程(一元、二元或三元):能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路:利用消元思想使三元变二元,再变一元三元一次方程组的解法:用代入法或加减法消元,即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组,、三元一次方程组之特殊型例1:解方程组分析:方程③是关于x的表达式,通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组,因此确定“消x”的目标。解法1:代入法,③分别代入①、②得解得把y=2代入③,得x=8.∴,可归纳出此类方程组为:类型一:有表达式,,方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2:消z.①×5得5x+5y+5z=60④④-②得4x+3y=38⑤由③、⑤得解得把x=8,y=2代入①得z=2.∴,可归纳出此类方程组为:类型二:缺某元,:解方程组分析:通过观察发现每个方程未知项的系数和相等;每一个未知数的系数之和也相等,即系数和相等。具备这种特征的方程组,我们给它定义为“轮换方程组”,可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解:由①+②+③得4x+4y+4z=48,即x+y+z=12.④①-④得x=3,②-④得y=4,③-④得z=5,∴:解方程组解:由①+②+③得2(x+y+z)=60,即x+y+z=30.④④-①得z=10,④-②得y=11,④-③得x=9,∴,由学生归纳出此类方程组为:类型三:轮换方程组,:解方程组分析1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系,根据以往的经验,看见比例式就会想把比例式化成关系式求解,即由x:y=1:2得y=2x;由x:z=1:7得z=,即,根据方程组的特点,可选用“有表达式,用代入法”求解。解法1:由①得y=2x,z=7x,并代入②,得x==1,代入y=2x,得y=2;把x=1,代入z=7x,得z=7.∴:由以往知识可知遇比例式时,可设一份为参数k,因此由方程①x:y:z=1:2:7,可设为x=k,y=2k,z=,并把三元通过设参数的形式转化为一元,可谓一举多得。解法2:由①设x=k,y=2k,z=7k,并代入②,得k==1,代入x=k,得x=1;把k=1,代入y=2k,得y=2;把k=1,代入z=7k,得z=7.∴:解方程组分析1:观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系,由例3的解题经验,易选择将比例式化成关系式求解,即由②得x=y;由③得z=.从而利用代入法求解。解法1::受例3解法2的启发,想使用设参数的方法求解,但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢?通过观察发现②、③中都有y项,所以把它作为桥梁,先确定未知项y比值的最小公倍数为15,由②×5得y:x=15:10,由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式,就能解决了。解法2:由②、③得x:y:z=10:15:=10k,y=15k,z=12k,并代入①,得k==3,代入x=10k,得x=30;把k=3,代入y=15k,得y=45;把k=3,代入z=12k,得z=36.∴,由学生归纳出此类方程组为:类型四:遇比例式找关系式,、三元一次方程组之一般型例4:解方程组分析:对于一般形式的三元一次方程组的求解,应该认清两点:一是确立消元目标——消哪个未知项;二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用,怎么才能做到“目标明确,消元不乱”,为此归纳出:;。方程式的选择采取用不同符号标明所用方程,体现出两次消元的过程选择。解:(明确消z,并在方程组中体现出来——画线)①+③得5x+2y=16,④(体现第一次使用在①③后做记号√)②+③得3x+4y=18,⑤(体现第二次使用在②③后做不同记号△)由④、⑤得解得把x=2,y=3代人②,得z=1.∴:解方程组分析:通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小,因此确定消y。以方程②作为桥梁使用,达到消元求解的目的。解:②×2得6x-4y+