2005年研究生入学考试数学二模拟试题参考答案.doc

2005年研究生入学考试数学二模拟试题参考答案.doc2005年研究生入学考试数学二模拟试题参考答案一、填空题(本题共6小题,每小题4分,)(1)=xxy011[解].(2)=___________________.[解].(3)设,则=[解]..(4)设,,为常数),则=________,=_________.[解]将看作的隐函数,于是,由,,:.:,两边对求偏导,得:,:.同理,可得:.(5)=________________.[解].(6)设,为三阶非零阵,且=0,则_____________.[解]由题设,..二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分,每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设取何值时函数是连续函数. (A)2. (B)1. (C)0. (D)不存在. [ ][解]要使在处连续,(B).(8)设具有二阶导数,若令,则可化为 (A). (B).(C).(D)[ ][解]..选(D).(9)曲线及轴所围图形面积为,则为(A). (B). (C). (D). [ ]yy=lnxlnblna[解],(10)设二阶可导,且满足方程,又,则(A)在处取极大值. (B)在处取极小值. (C)在处不取极值. (D)为拐点. [ ][解].令,,.选(B).(11)设函数满足条件:则 (A)1. (B)2. (C). (D). [ ][解].令,(C).(12)微分方程的特解为(A). (B). (C). (D) [ ][解]..选(D).(13)设A为三阶方阵,且,则为(A)10. (B)-20. (C)36. (D)-132. [ ][解]由题设,特征值:.的特征值为:,,.(D).(14)非齐次方程组中未知量个数为,方程个数为,,则(A)时,有解. (B)时,有唯一解. (B)时,有唯一解. (D)时,有无穷解. [ ][解]由题设,,.选(A).三、解答题(本题共9小题,满分94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分10分).[解]..(16)(本题满分10分)设在有定义,且,对,恒有,求.[解]令,由.,(*)①.②令为(*)的解,将其代入并整理,得:,.,得:.故.(17)(本题满分11分) 设,在上连续,在上可导,且对于,恒有,且介于在内的两个零点之间,至少有一个零点.[解]设对,,.,令,在内成立,又,,在上连续,在内可导,,一个,.(18)(本题满分12分) 设函数在内连续,且①证明:若为偶函数,则也是偶函数;②证明:若非增,则函数非减.[证明]①.故为偶函数.②.当时,,由非增,;当时,,由非增,;当时,.综上所述,.故非减.(19)(本题满分12分)已知其中具有二阶连续偏导数,均为二阶可微函数,计算.[解],....(20)(本题满分11分) 对一切实数,函数是连续的正函数,可导且,函数证明是单调增加的;求出使取最小值的值;③将函数的最小值作为的函数,它等于,求.[解].①..故单调增大.②令.③.(*)两边对求导,得:..由(*)可知,代入上式,得:.故.(21)(本题满分10分)某冬日早晨下雪,以恒定速率持续不断地下,一扫雪机,从早8点开始在路上扫雪,到9点前进了2Km,到10点前进了3Km,假设扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数,问何时开始下雪?[分析]关键的几句话:①雪以恒定的速率下降,由此可知若时刻雪的厚度为,则(常数).②扫雪机每小时扫去积雪体积为常数,,为比例系数.③扫雪机从8点到9点前进2km,,当时,;时,;时,.解:由以上分析可得:,,.,得:(常数)(为任意常数).将时,;时,;时,代入,得:①②③②-①,③-②,(分).下雪从上午7点23分开始.(22)(本题满分9分) 设阶方阵,且对某个正数,有,证明: ①;②不可对角化.[解]①设,.为的特征值,则有..而.()可知,.②,则存在可逆阵,使,其中是由的特征值构成的对角阵,.(23)(本题满分9分) 设为四维列向量组,,已知方程组的通解①能否由线性表示?②求的一个极大线性无关组.[解],且可知向量组的秩为3.①设可由线性表示,则有,,,.②是方程组的解