线代总结1线性代数中的线性方程组.doc

线代总结1线性代数中的线性方程组.doc:..:,mv…nV还可表示为Ax=b,^2a2L°22其中被称为系数矩阵[^]称为增广矩阵一\—X=瞻b=MB■贈AJ当办=0时,称方程组Ax=67为齐次线性方程组,当办*0时,称方程组Ax=b为非齐次线性方程组。12b:卿g+4y的系数矩阵是32•■1是非齐次线性方程组。\-2x2+3x3=0•1-23_•0_24-4:2+6x3=0 A=2-46b=0, _A=0的系数矩阵是10-4•0」,是齐次线性方程组。第一章介绍Y利用行列式的性质来讨论线性方程组的解/卜面我们将介绍利用矩阵的性质来讨论线性方程组的解。定理5设线性方程组(I)的增广矩阵可由初等变换化为则与是同解的方程组注意:如果是齐次线性方程组0=0,只需对其系数矩阵进行初等变换换。定理5可知求解线性方程组无论是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组,首先将其系数矩阵A或增广矩陈MM施以初等行变换化简成为行最简形矩陈,再利用系数矩阵的秩数讨论其解。下面分别讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的情况。=G有非零解的充分必要条件是研。证明:必要性已知方程组有非零解,用反证法证明。设R(A)=n,则在A中必有一个n阶非零子式夂,从而A所对应的n个方程只冇零解,这与已知矛盾。因此R(A)羊n,即R(A)<n。充分性已知R(A)=「<n,则A的行最简形矩阵只含r个非零行,其余n-r行都为零,这n-r个行所对应的变量是自由变量,可以任意取值,所以,可知方程组有非零解。\+x2-x3=0-2xt+4x2-x3=0例7求解线性方程组片解:系数矩阵=2432将A施以初等行变换1-25010100I£II0101一O1O11oO-tI1132112112可知R(E)=3,方程组£x=0只有零解。又知方程组>4x=0与Ex=O是同解的,所以Ax=O只有零解。x+2x2+x3-x4=03^+6X3-x3-3i4=0例8求解齐次线性方程组„101,+&-、=()解:系数矩阵12 1 -1"!36-1-35101 -5J1 2 1-110 0 100 0 00将A施以初等行变换•10201-4-1101000012100-400-4120-1")001 0=B0000JB为最简形矩阵,R(B)=2〈3,由定理6知,方程组有非零解\+2x^-x4=QB所对应的方程组为这个方程组中有4个未知量,两个方程,故应有4-2=2个自由未知量。设=心14=02(^2为任意常致).則有\=-2ct+c2-21•1—Xa10叉30Cl+0人•<)」人\=0用向量表豕力此解是方程组Bx=O的通解,再由定理5知,它也是方程组Ax=•夂4如果系数矩阵A是可逆矩阵(或满秩矩阵),其解为如果系数矩阵A是非满秩矩阵,其解的情况较复杂,可能无解,可能冇唯一解,也可能有无穷多解。定理7对于非齐次线性方程组有解的充分必要条件是R(A)=当时,方程组有唯一解当时,方程组有无限多解当吋,方程组无解证明:必要性已知方程组有解,用反证法证明。设则将化为行最简形矩阵,可得其最后一个非零行所对应的方程为