第十五代数系统AlgebraicSystem.pptx

©©:是一个三元组V=<A,,K>,其中A是一个非空的对象集合,称为V的载体;是一个非空的运算集合K是代数常数的集合,KA©PekingUniversity3代数系统的表示©PekingUniversity4代数系统的实例©PekingUniversity5代数系统实例例:Peano系统<S,,e>,Peano公理:1)eS2)S在下封闭3)eran4)单射:(x)=(y)x=y5)B(BSeBB在下封闭B=S)前两条保证了<S,,e>构成代数系统后三条是系统特有的公理©PekingUniversity6有穷半自动机状态集Q={0,1,2,3},字母表V={a,b},状态转移函数:QVQ01baab23baab a b0 0 11 0 12 2 33 2 3<Q,a,b>©PekingUniversity7代数系统的分类---同类型与同种的代数系统同类型的:构成成分相同(具有相同的运算数目;运算具有相同的元数)同种的:构成成分与公理都相同公理:交换、结合,幂等;分配、吸收;含e,每个元素可逆;<A,o,*>实例:<Z,+,>,<Zn,,>,<Mn(R),+,>,<P(B),,>,<{0,1},,>公理1:o交换,结合,含幺,每个元素可逆;*结合;*对o分配。<Z,+,>,<Zn,,>,<Mn(R),+,>与<A,o,*>是同种的公理2:o与*交换、结合、幂等、吸收;<P(B),,>,<{0,1},,>与<A,o,*>是同种的©PekingUniversity8重新强调课程的特点代数结构,并不是要研究每一个具体的代数系统,而是通过规定集合及集合上的运算以及运算性质来规范每一种代数系统,这个代数系统是很多具有相同构成成分和运算性质的实际代数系统的模型或抽象。针对这个模型研究它的结构和内在特征,然后应用到每个具体的代数系统中去,这种研究方法是抽象代数的基本方法。©PekingUniversity9子代数(AlgebraicSubsystem)©PekingUniversity10实例:=<Z,+,0>,例(1)公理:+满足结合律,单位元存在, 每个元素可逆子代数为:nZ={nk|kZ},nN,n=0平凡的真子代数n=1平凡子代数n>1非平凡的真子代数例(2)公理:+结合律子代数为:nZ(nN),N,Z+等.