内积、外积、混和积.ppt

向量的内积、外积、混和积
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8/6/2017
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向量的内积
向量是一个具有很强的物理背景的概念,尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用,要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系,仅仅只有向量的线性运算就远远不够了,还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。
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例: 物体放在光滑水平面上,设力F以与水平线成θ角的方向作用于物体上,物体产生位移S,求力F所作的功。
于是功W为:
W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ
为反映这一类物理现象,引入向量的内积。
F
S
解: 根据物理知识,F 可以分解成水平方向分力
和垂直方向分力。其中只有与位移平行的分力
作功,而不作功。
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根据内积的定义,上例中的功可写作:
内积及其运算规律
定义两个向量α与β的内积是一个数,它等于这两个向量的长度与它们夹角θ=(α,β)余弦的乘积,记为,
即有
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(1)
向量的内积又称为点积或数量积
(3)
(2)
(4)
(5)
注:
向量内积不满足结合律
具有以下性质:
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例:
用向量证明余弦定理
A
C
B
证明:
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例:
证明:直径所对应的圆周角为直角.
A
B
C
O
证明:
因此
所以
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例:
证明:
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内积的坐标表示
对任意向量
(1)
证:
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(2)
(3)
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