内积、外积、混和积.ppt

向量的内积、外积、混和积1向量的内积向量是一个具有很强的物理背景的概念,尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用,要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系,仅仅只有向量的线性运算就远远不够了,还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。2例: 物体放在光滑水平面上,设力F以与水平线成θ角的方向作用于物体上,物体产生位移S,求力F所作的功。于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ为反映这一类物理现象,引入向量的内积。FS?解:根据物理知识,F 可以分解成水平方向分力和垂直方向分力。其中只有与位移平行的分力作功,而不作功。xFyFxFyF3根据内积的定义,上例中的功可写作:SFW??内积及其运算规律定义两个向量α与β的内积是一个数,它等于这两个向量的长度与它们夹角θ=(α,β)余弦的乘积,记为,??????????),(0其中?????cos??即有4(1)02??????向量的内积又称为点积或数量积00???????且???????(3)????????0(2))()()(???????????kkk(4)?????????????)((5)注:向量内积不满足结合律??????)()(???具有以下性质:5???例:用向量证明余弦定理ACB?证明:???????ABCACBABC,,设中,在?????于是?????2因而,)()(????????????????????????222????????),cos(222??????????cos2222BCACBCACAB???即6例:证明::,,????????OCAOCBCA,,设,??OB那么??????????????????,,且)()(???????????因此????????????????22????0????所以CBCA?即7例:???????)()(???垂直于向量证明向量证明:])()[(???????????])[(])[(??????????????))(())((??????????????0?8221212121221212121221kzzkjzykizxjkyzjyyjiyxikxzijxyixx???????????????内积的坐标表示,1,1,1222222??????kkjjii212121zzyyxx???)()(222111kzjyixkzjyix?????????????222111,,,,zyxzyx????,对任意向量(1)212121zzyyxx??????证:0??????ikkjji9212121zyx?????2121212zyx????(2)2222222**********),cos(zyxzyxzzyyxx???????????????cos??(3)10