将矩阵化为约当标准型.docx

将矩阵化为约当标准型.docx补充:(si-A)~l=(si-PAP'})~'=P(sl-疔P~x_padj(sI-Adet(5/-AP~x=p($—1)(5-2)(s—1)(5—2)(—IF(AI)"—2)p-{=p5-25-2($一1)($-1)(£—2)p~矩阵A的特征多项式det(刀-A)=(2-1)2(2-2)有两重根=1和单特征值入=2,凡是在adj(si-A)中的公因子则必然和det(5/-A)可以相消。经过线性变换后,系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式,特别指出,如果“XH维矩阵A由下式给出_00101A=■■••■■■••000_0()—_OCj^■9并且其特征值九人,…入互异,作非奇异线性变换兀二冷,则化A为对角线标准型矩阵P~]AP=人0・・・00人…0:000・・.入其中,P为范德蒙德(Vandermond)矩阵。人补充:设约当块数为q和q个%(约当块的阶数)。A矩阵惟一决定的约当型矩阵式设变换矩阵P与J具有同样阶数组的分块矩阵型令P=SP2…几]即,门是/ixf阶矩阵。贝ljAP=PJAl"Pi…Pi…P」根据分块矩阵的乘法规则,有[勿】Ap2'••Apq]=[p}jlP2J2…几人]上式实际上是q个等式,即Ay,=pjj,i=l,2,…,q将让"阶矩阵口写成列向量形式,于是有Pi=lPilPi2…“咖]_&1A[几Pi2…几加]=[卩1Pi2…轴J ・[••1・ %APi2=5+入Pi2>APig=/%一1+人〃叽也可写成(&/-A)%=0(AtI-A)pi2=_卩讣>■■(2y/-A)phni=_%_]顺序解以上方程组就可以确定门的"个列向量。这些列向量中只有第一个几是对应于人的特征向量,而其余的“i个向量门2,…,如<•称之为对应特征值&的广义特征向量,可由上式递推解出。设矩阵A的重特征值为入,代入式(如"加严0中,即由(V-A)pn=0可求出A的对应于人的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数,就是该特征值对应的约当块数,或表示为ax,=n-rank(/I)I-A)降秩数0“就是对应人的线性无关特征向量个数,或者是对应人的约当块块数。换句话说,矩阵A的特征值分组人,人,…人中,有4=人=・・・=&“。将式中计算的式子,(人/一A)”12=~P\\两端同时乘以(如-4),CV一A)%=-(^/-A)pn=O该方程线性无关的解的个数是h-rank^l-A)2,但这个数目中包括A1的个数,即勾。所以,解出线性无关的列向量卩2的个数,6Z12=rank(A,I_A)-rank^I_A)2也就是对应人的大于或等于2阶约当块的块数。例将已知矩阵A化为约当型。-1o '02-1002*-.“ 3一丄2212解:先求A的特征多项式,因为A矩阵是对角分块矩阵,所以特征多项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积,即-A)\=|($厶-£)|•\(sl2-生)||(弘一血)|=G-2)6eI=n-rank(21一A)=6-rank将特征值2=2代入式ax}=n-rank{\I-A),求约当型中的约当块数。] =6-3=32-210由此,由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。然后,将2=2代入6^I2=rank{\I-A)-rank^I-A)2求出约当型中大于等于2=3—rank(21_A)2=3-rank阶的块数=3-1=2000所以,由A矩