将矩阵化为约当标准型.doc

补充：
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=
=
矩阵A的特征多项式有两重根，凡是在中的公因子则必然和可以相消。
经过线性变换后，系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式，
特别指出，如果维矩阵A由下式给出
并且其特征值互异，作非奇异线性变换，则化A 为对角线标准型矩阵
其中，P为范德蒙德（Vandermond）矩阵。即
补充：
设约当块数为q和q个（约当块的阶数）。A矩阵惟一决定的约当型矩阵式
设变换矩阵p与J具有同样阶数组的分块矩阵型
令
即，是阶矩阵。则
根据分块矩阵的乘法规则，有
上式实际上是q个等式，即
将阶矩阵写成列向量形式，于是有
即

也可写成
顺序解以上方程组就可以确定的个列向量。这些列向量中只有第一个是对应于的特征向量，而其余的个向量称之为对应特征值的广义特征向量，可由上式递推解出。
设矩阵A的重特征值为，代入式中，即由
可求出A的对应于的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数，就是该特征值对应的约当块数，或表示为
降秩数就是对应的线性无关特征向量个数，或者是对应的约当块块数。换句话说，矩阵A的特征值分组中，有。
将式 中计算的式子，
两端同时乘以，
该方程线性无关的解的个数是，但这个数目中包括的个数，即。所以，解出线性无关的列向量的个数，
也就是对应的大于或等于2阶约当块的块数。
例 将已知矩阵A化为约当型。
解：先求A的特征多项式，因为A矩阵是对角分块矩阵，所以特征多项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积，即
将特征值代入式 ， 求约当型中的约当块数。
=6-3=3
由此，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。
然后，将代入求出约当型中大于等于2阶的块数
所以，由A矩阵化成的约当型将有一个1阶块，两个大于或等于2阶的块。
再将将代入，求出约当型中大于等于3阶的块数
所以，由A矩阵化成的约当型共有3个约当块，其中一个1阶块， 一个2阶块，一个3阶块，即
设是系统的一个特征值，若存在一个n维非零向量，满足
或
则称为系统相对于特征值的特征向量。
例如： 系统矩阵为
试求其特征值和一组特征向量。
解： 由系统的特征方程
系统的特征值为
设对于特征值的特征向量分别为
，
得到
则有
取，得。故
，
下面确定将A矩阵化为约当标准型的变换矩阵P
由
得

其特征值为共轭复数对其对应的特征向量也是复数向量，，， 变换阵和它的逆矩阵都是复数矩阵，即

变换后的结果也是复数矩阵，即