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第卷第期西部教育研究...
年月.,
构造函数借助导数证明不等式
牟明忠
【摘要】利用构建函数,借助导数的方法证明不等式,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单
调性或求最值。从而证明不等式。
【关键词】构造函数;导数;不等式;证明
【作者简介】牟明忠,乐至中学中学数学一级教师。
纵观近几年高考试题,凡涉不等式的证明的问’
. . 当∈,∞时, —
题往往会出现在压轴题上,其综合性强,思维量大,
恒成立.
因而不等式证明问题成为高考的难点问题,而用导
故由①、②司知, ,∞时,不等式一
数证明不等式是一种重要方法,它的主要步骤是:
构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研专一成立。
究函数的单调性或求最值,从而证得不等式。可见二、变形后再作差构造函数
构造辅助函数是用导数方法证明不等式的关键,下【例若, ,求证:
面举例谈一些做法。

——
一——.
、直接作差构造函数
这是最主要的构造函数的方法。
证明:令, .￡, .

【例】求证不等式一等一
则原不等式甘一了￡一,令￡

南在,∞上成立。————.
②
·
. .
证明::一一鲁,补充定厂一÷, ’.‘,∞’...
义. 厂,
·
, . . 在,∞上为增函数,.·.
厂一南,.·.一.
·
. . :在,∞上单调递增. 令一了
. ÷一
·
. . 当,∞时,.厂恒成立.
‘
·
. . 一冬①
·
. ‘, ∞,.·. .在
令一一,补,∞上为增函数.
·
充定义. . . ￡:,.·.￡凡￡一.
‰一一
. 一÷ ,即.
。
· 【例当时,求证不等式一成立。
. . 在,一∞上单调递增.
。。西部教育研究第卷
证
证明:要证√一一,只要证一是要证明的不等式相当于要证函数厂:曼之
当
成立即可. 虑函。
值介于与之问,再利用函数的最值结论;如果
令一一。一
。是函数在区问上的最大小数值,则有
一,
:
≤厂。或≥,那么要证不等式,
则当时,。
只要求函数的最大或最小值即可得证。
一一. 刚一寸
四、构造对数函数,
·
. . 在, ∞上递增,
【例】设Ⅱ,证明.
. 有
即成立,故原不等式得证. 证明:原题等价于,设厂,
类似问题:证明对任意的正整数,不等式
当时,厂:
.
÷~都成立。
¨ ,‘,‘·
. . 当时, 单调递减.
一般地,用导数证明不等式时要注意所构造的
.
. .口... 掣,即口Ⅱ.
函数在区间端点处是否连续,即是否要补充函数在口
端点处的定义;另外要注意用到一个结论:设函数五、用分离变量的思想构造函数
. 厂在区问,∞上连续,在区间,∞内【例】证明:当有薏署
可导,且厂;又≥,则时,厂
成立.
;例也可直接作差构造函数。
证明:设眦,则/
三、利用作商法构造函数
, .
【例】证明舭成立,∈,. 当∈,∞,厂单调递增,从而。
,
胍‘
再设譬测,

: —