群论-3 群的表示理论.ppt

群论-3群的表示理论群论-群的表示理论§§§§§→线性变换§§§§-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示§:用线性变换表示抽象代数线性空间:V是一个非空集合,F是一个数域V上定义了加法,z=x+y,V对加法成Abel群;F与V的元素之间定义了数乘,y=kx, 且F中存在单位元1,k(lx)=(kl)x; 加法与数乘满足分配律;那么V称为数域F上的线性空间F中元素称为标量或数量,V中元素称为向量当系数域F为实数域时,V称为实线性空间。当F为复数域时,V称为复线性空间。1线性空间与线性变换基矢线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一组基矢一般取e1,e2,…,en为空间Vn上的一组正交归一基矢内积,内积空间线性空间Vn上的任一矢量x,当选择{e1,e2,…,en}为基矢组时,也可展开为 x=x1e1+x2e2+…+xnenx1,x2,…,xn即为矢量x在基矢e1,e2,…,en上的坐标x可以用它的坐标来表示: x=(x1,x2,…,xn) 常把(x1,x2,…,xn)写成单列矩阵,称之为 矢量x的列向量表示群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示线性空间Vn上任意一个矢量x→Vn′上有唯一的矢量y对应规则Â称为Vn到Vn'的一个算符: y=Âx 如果以上对应规则是一对一的,则存在逆算符Â-1: x=Â-1y如果空间Vn'就是空间Vn时,Â称为空间Vn上的一个算符。如果 Â(x+y)=Âx+Ây Â(αx)=αÂx 则Â称为线性算符。线性算符群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示算符的矩阵形式用矩阵形式表示算符,则需引进坐标系令e1,e2,…,en为空间Vn上的一组正交归一基矢Â对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合:利用基矢的正交归一条件(ei,ej)=δij(也可写为<ei|ej>=δij),可得: Aij=<ei|Â|ej>≡(ei,Âej),i,j=1,2,…,n n×n阶的矩阵A——算符Â在基{e1,e2,…,en}中的矩阵表示。群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示2矩阵表示对空间的不同的基矢组,算符Â有不同的矩阵表示。选定一组基矢,一个线性变换可以表示为一个矩阵;反过来,对于一组给定的基矢{e1,e2,…,en},一个矩阵A实际上也就是一个线性算符Â算符Â作用在任一矢量上的结果由确定。当然,对应于不同的基矢组,矩阵所确定的算符也是不同的群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示转移矩阵:设{e1,e2,…,en}和{f1,f2,…,fn}是线性空间Vn上的两组不同的正交归一化基矢组,若将fj写为,j=1,2,…,n则S称为从基{e1,e2,…,en}到基{f1,f2,…,fn}的转移矩阵相应地算符Ŝ称为转移算符基矢变换设:则: A'=S-1AS,群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示厄密共轭算符:对于空间Vn上任一算符Â,如果有另一个算符†满足以下关系: (ei,†ej)=(Âei,ej) 则算符†称为算符Â的厄密共轭算符如果{e1,e2,…,en}是正交归一化基矢组,则: (ei,†ej)=ΣkA†kj(ei,ek)=ΣkA*jk(ei,ek) =A*ji=Ã*ij=(A†)ij ——在正交归一化基中,算符Â的矩阵为A,而它的厄密共轭算符†的表示矩阵为A的厄米共轭矩阵A†若†=Â,则Â称为厄密算符,或自共轭算符厄密算符的表示矩阵为厄密矩阵:A†=A群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示3几种算符幺正算符:若空间Vn上的一个算符Â,它对该空间任意两个矢量x和y作用后,其内积不变,即: (Âx,Ây)=(x,y) 则Â称为幺正算符,也称为酉算符。因为:(Âx,Ây)=(x,†Ây)=(x,y)所以幺正算符满足 †Â=†=1,†=Â-1若空间引入正交归一基,则其表示矩阵为 A†=A-1 即幺正算符的表示矩阵为幺正矩阵只有取正交归一基时,幺正(厄密)算符的表示矩阵才是幺正(厄密)矩阵群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示