群论-3 群的表示理论.ppt

群论-群的表示理论
§ 群的线性表示
§ 舒尔引理和正交性定理
§ 表示的构造
§ 群表示的特征标
§ 投影算符
第三章 群的表示理论
抽象群 → 线性变换
§ 正则表示
§ 特征标表的计算
§ 直积表示
§ 线性算符及其矩阵表示
第一页，共115页。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
§ 线性算符及其矩阵表示
线性代数的准备知识
群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法
表示理论：用线性变换表示抽象代数
线性空间：V是一个非空集合，F是一个数域
V上定义了加法， z = x+y ，V对加法成Abel群；
F与V的元素之间定义了数乘， y = kx ，
且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x；
加法与数乘满足分配律；
那么V称为数域F上的线性空间
F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。
1 线性空间与线性变换
第二页，共115页。
基矢
线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一组基矢
一般取e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
内积，内积空间
线性空间Vn上的任一矢量x，当选择{e1, e2, …,en}为基矢组时，也可展开为
x = x1e1 + x2e2 + …+ xnen
x1, x2,…, xn即为矢量x在基矢e1, e2, …,en上的坐标
x可以用它的坐标来表示：
x = (x1, x2,…, xn)
常把(x1, x2,…, xn)写成单列矩阵，称之为
矢量x的列向量表示
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
第三页，共115页。
线性空间Vn上任意一个矢量x → Vn′上有唯一的矢量 y
对应规则 Â 称为Vn到Vn'的一个算符：
y = Âx
如果以上对应规则是一对一的，则存在逆算符Â-1：
x = Â-1y
如果空间Vn'就是空间Vn时，Â称为空间Vn上的一个算符。
如果 Â(x+y) = Âx+Ây
Â(αx) = αÂx
则 Â 称为线性算符。
线性算符
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
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算符的矩阵形式
用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系
令e1, e2, …,en为空间Vn上的一组正交归一基矢
Â对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合：
利用基矢的正交归一条件(ei,ej) = δij（也可写为<ei|ej> = δij），可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A
——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
2 矩阵表示
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对空间的不同的基矢组，算符Â有不同的矩阵表示。
选定一组基矢，一个线性变换可以表示为一个矩阵；
反过来，对于一组给定的基矢{e1, e2, …,en}，一个矩阵A实际上也就是一个线性算符Â
算符 Â 作用在任一矢量上的结果由
确定。
当然，对应于不同的基矢组，矩阵所确定的算符也是不同的
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
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转移矩阵：设{e1, e2, …,en}和{f1, f2, …,fn}是线性空间Vn上的两组不同的正交归一化基矢组，若将 fj 写为
， j = 1, 2, …,n
则 S 称为从基{e1, e2, …,en}到基{f1, f2, …,fn}的转移矩阵
相应地算符 Ŝ 称为转移算符
基矢变换
设：
则：
A' = S-1AS ，
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
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厄密共轭算符：对于空间Vn上任一算符Â，如果有另一个算符†满足以下关系：
(ei, †ej) = (Âei, ej)
则算符 † 称为算符  的厄密共轭算符
如果{e1, e2, …,en}是正交归一化基矢组，则：
(ei, †ej) = ΣkA†kj(ei, ek) = ΣkA*jk (ei, ek)
= A*ji = Ã*ij = (A†)ij
——在正交归一化基中，算符Â的矩阵为A，而它的厄密共轭算符†的表示矩阵为A的厄米共轭矩阵A†
若† = Â，则Â称为厄密算符，或自共轭算符
厄密算符的