数值分析(清华大学出版社).doc

数值分析(清华大学出版社),求以下近似值的相对误差,并问它们各有多少位有效数字?(1);(2);(3);(4)。解:(1)有2位有效数字(2)有4位有效数字(3)有2位有效数字(4),应怎样测量才能使其面积误差不超过1?[解]由可知,若要求,则,即边长应满足。5(1)①1-cos2°=1-=②1-cos2°=2sin²1°=2ײ≈×=③(2),使其根至少有四位有效数字,计算中要求用。解:利用求根公式求得两个根为,由与(五位有效数字)可知(五位有效数字),只有两位有效数字,不符合题意。由于两个相近数相减误差很大,所以利用韦达定理可知设,,用四舍五入的六位数字运算分别计算和的近似值,并分析哪个结果计算比较准确,原因何在?解:用四舍五入法保存6位有效数字可得;而因此比较准确,原因是相近数相减有效数字会有所损失,故更加准确。下列公式要怎样变换才能使数值计算时能避免有效数字的损失?(1)(2)(3)(4)解:(1)因为,当N充分大时为两个相近数相减,设,,则,,从而,因此。(2)当x充分大时为两个相近数相减,利用分子有理化得(3)当x充分大时为两个相近数相减,利用对数的性质得(4)当时为两个相近数相减,利用三角公式性质得10、已知,:(1)(2),,,以及.(1)(2)解:(1)=6==7==(2)=4==4==,为对称正定矩阵解:由题可知A矩阵为对称矩阵,而A成为对称正定矩阵的充要条件是A的顺序主子式故故联立可以得到21、分别求出所有的a、b值,使得:A奇异;A严格对角占优;A对称正定;解:(1)因为A奇异,所以矩阵A的行列式的值等于零。求得a、b值应满足3a=2b。(2)根据严格对角占优矩阵的定义可列出不等式解得(3)因为矩阵A对称,所以b=1。因为A对称正定,所以A的所有顺序主子式值全部大于零。一阶顺序主子式大于零得:a>0二阶顺序主子式大于零得:2a>1三阶顺序主子式大于零得:3a>2解得a>2/3。所以满足A对称正定的条件是b=1,a>2/3。