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第卷第期经济数学
年月
我国东西部城市经济实力比较的主成分分析
蒋亮罗汉
湖南大学数学与计量经济学院,湖南长沙,。。
摘要本文运用主成分综合评价模型,对我国东、西部所辖个中心城市的年主要社会经济指标进
行实证分析,给出这些城市经济发展水平的综合徉分及其排序,进而对我国东、西部城市的经济实力进行定
比较,其结论得到系统采类分析方法的印证
关键词主成分分析,聚类分析,练合评价,东西部,中心城市,经济实力
中心城市的经济发展是带动周边地区经济发展的重要动力分析评价中心城市的经济发
展水平,对研究我国经济具有重要的意义本文从我国东部和西部地区所辖的各省、自治区、直
辖市中选取个具代表性的中心城市,运用主成分分析方法对其主要社会经济指标进行实证
分析,综合评价和比较我国东、西部经济发展的实力,并通过系统聚类方法加以验证
主成分综合评价模型
针对多指标统计问题,可以通过建立一个从高维空间到低维空间的线性映射,并使该映射
保持样本点在高维空间中的某些结构,从而运用降维的思想把多指标转化为少数几个综合指
标
设有个指标构成的随机向量,,,⋯,户,则了能综合反映的变化状况,
即综合表示,,,⋯,孙在样本上的差异·寻求最能反映这种差异的线性函数二,就是
在约束条件了下求,使方差达到最大
,,,
设产,,有二,则上述问题归结为求件子李的
口一口
值设二,久,凡⋯凡是的按从大到小排列的全部非零特征值,‘是凡相应
的单位化的特征向量,则有
了凡可‘, ,,· ,
二
‘乏
泛,,,。‘一
分别将的非零特征值又几》⋯凡相应的单位化的特征向量,,⋯,,构成的
线性函数叮,叮⋯,多可,称之为的第一主成分、第二主成分、⋯、第主成分
它们是个随机向量的“综合”指标显然,,,⋯,,互不相关,且各自的方差是又,又,⋯,
凡
收稿日期一一
第期蒋亮罗汉我国东西部城市经济实力比较的主成分分析
一方面矩阵的迹是的“总方差”变量,,,⋯,,的方差之和艺‘另一
方面,记
, ,可,⋯,可, ,,⋯,,,
则,且
又,又,⋯,凡,
从而的“总方差”为凡十几十⋯凡由此,个变量的总方差被分解为另个不相关的
变量的方差之和几十久十⋯凡,且使第一主成分的方差达到最大,最大的方差是又,
称月一入艺凡为第、主成分的方差贡献率,它越大表明第、主成分一‘二综合二,,二,
奋王
⋯,户信息的能力越强,也即由叮的差异来解释的差异的能力越强
若矩阵称、户满秩,则存在正交阵,使以,,几,一,凡,即有个互不相关的主
成分注意到是正交阵,因此又有
二一,一石,汽⋯,戎六,汽,⋯,戎,
止里一石,而,⋯,瓦了台二里
易见了,九,· ,几是对的方差施行标准化得到的,因此其各分量互不相关,且
五“于是可看成是彼此互不相关且方差都是的因子,,几,⋯,几的线性函数生
成的称,一。·汽为第、个变量在第个主成分上的因子载荷因子载荷揭示了主成分与
原变量之间的相关程度,用它来解释主成分更确切
从因子结构的表达式上看,总有二广‘仃
若取厂为正交阵,并令,则广‘也是因子结构的一种表达,此时是由了经正
交变换得来,称其为正交旋转经过正交旋转后,的各分量仍然不相关