1 无约束最优化问题的最优性条件.ppt

第三章最优性条件Optimality Conditions所谓所谓最优性条件最优性条件,是指最优化问题的最优解所要满足的,是指最优化问题的最优解所要满足的必要条件必要条件或或充分条件充分条件,这些条件对于最优化算法的建立,这些条件对于最优化算法的建立和最优化理论的推整都是至关重要的和最优化理论的推整都是至关重要的..??无约束最优化问题的最优性条件无约束最优化问题的最优性条件??等式约束最优化问题的最优性条件等式约束最优化问题的最优性条件??不等式约束最优化问题的最优性条件不等式约束最优化问题的最优性条件??一般约束最优化问题的最优性条件一般约束最优化问题的最优性条件第三章最优性条件无约束最优化问题的最优性条件.()minRf:Rf(x)n?其中无约束最优化问题若若n=1,n=1,则则f(xf(x))为一元函数为一元函数..??;0*??xf (1)若*x为??xf的局部极小点,则 (3)若????,0,0**?????xfxf则*x为??xf的严格局部极小点;若 (2)*x为??xf的局部极小点,则:????.0,0**?????xfxf无约束最优化问题的最优性条件回顾:回顾:*x为??xf的局部极小点,且在??*xN?内??xf一阶连续可微,则??.0**???xfg注:(1)仅仅是必要条件,而非充分条件.(2)满足??0**???:极小点,极大点, Stationary PointPointSaddle Saddle PointPoint平稳点平稳点一阶必要条件一阶必要条件无约束最优化问题的最优性条件的几何意义0)(*??xf:函数曲面在:函数曲面在xx**处的切平面是水平的处的切平面是水平的..所谓所谓xx**是鞍点是鞍点,,从直观上说曲面在从直观上说曲面在xx**处沿某方向处沿某方向““向向上弯曲上弯曲””,而沿另一方向,而沿另一方向““向下弯曲向下弯曲””..*x为??xf的局部极小点,且在??*xN?内??xf二阶连续可微,则)(,0)(*2*xfxf???: (1): (1)刻画了刻画了f(xf(x))在在xx处切平面的法向处切平面的法向..)(Xf?(2)(2)刻画了曲面刻画了曲面f(xf(x) ) 的弯曲方向的弯曲方向..)(2Xf?无约束最优化问题的最优性条件二阶必要条件二阶必要条件(3)(3)...)(,0002)(,)0,0()(002020不是局部极小点但半正定即XfXfXfT?????????????3 31 2 1 2( ) ( , )f X f x x x x? ??在在xx00=(0,0)=(0,0)TT处,有处,??*xN?内??xf二阶连续可微,且)(,0)(*2*xfxf???正定, 则*:(1)如果*G负定, 则*(2) (2) ..分析分析:: x x00=(0,0)=(0,0)TT为其严格局部极小点为其严格局部极小点. . )(,)0,0()(020????????????XfXfT例例422221412)(xxxxxf?????xf在nR上是凸函数且在x*处一阶连续可微,则*x为??)(*??xf无约束最优化问题的最优性条件凸优化问题凸优化问题----------??xf在nR上是严格凸函数,在x*处则*x为??,,0)(*??xf且