单因素方差分析在数理统计中的应用.doc

摘要:在详细阐述单因素方差分析原理的基础上,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种结合不仅能激发学生的学****兴趣,而且能培养学生自己动手、解决问题的能力。关键词:单因素方差分析;数理统计;数学建模;应用;假设检验0 引言方差分析又称“变异数分析”或“F检验”,,用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析是检验在一种因素影响下,两个以上总体的均值彼此是否相等的一种统计方法。由于单因素方差分析的原理抽象、计算繁琐、导致教学枯燥无味。基于此,文中详细阐述了单因素方差分析的原理,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种从理论到应用,再从应用到上机实现的过程,让学生体会到“学以致用”的真正含义,激发了学生的学****兴趣,同时也提高了学生的动手能力。1 单因素方差分析原理设单因素A具有r个水平,分别记为A1,A2,…,Ar,在每个水平Ai(i=1,2,…,r)下,要考察的指标可以看成一个总体Xi(i=1,2,…,r)且Xi~N(μi,σ2),水平Ai(i=1,2,…,r)下,进行ni次独立试验,样本记为Xij,i=1,2,…,r,j=1,2,…,ni,Xij~N(μi,σ2)且相互独立。 建立假设假设检验为H0:μ1=μ2=……=μr.,备择假设为H1:μ1,μ2,…,μr不全相等。由于Xij-μi=εij,记μ=Σniμi,n=Σni.,αi=μi-μ,i=1,2,…,r,则数学模型为:Xij=μ+αi+εij,i=1,2,…,r,j=1,2,…,niΣniαi=0εij~N(0,σ2),各个εij相互独立,μi和σ2未知故原假设改写为:H0:α1=α2=……=αr=0(1) 构造统计量为了构造检验假设(1)的统计量,首先,需要找到引起Xij波动的原因。从Xij=μ+αi+εij中可以看出,若检验假设(1)为真,则Xij的波动纯粹是随机性引起的;若检验假设(1)为假,则Xij的波动是由第i个水平和随机性共同引起的。因而,需要构造一个量来刻画Xij之间的波动,并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示,这就是方差分析中的平方和分解法。记Xi•.=ΣXij,=ΣΣXij引入ST=ΣΣ(Xij-)=ΣΣ(Xij-Xi•)+ΣΣ(Xi•-)=SE+SA又因为SA=Σ(X-i•-X)=Σ(αi+εi•-ε)SE=ΣΣ=(Xij-Xi.)=ΣΣ(εij-εi•)。若H0成立,SA只反映随机波动,若H0不成立,SA还反映了A的不同水平效应αi。单从数值上看,当H0成立时,SA/(r-1)SE/(n-r)≈1,而当H0不成立时,这个比值将远大于1。可以证明:ST/σ2~χ2(n-1);SE/σ2~χ2(n-r);SA/σ2~χ2(r-1),且SE与SA相互独立。故构造统计量F=(n-r)SA/(r-1)SE~F(r-1,n-r)。 对于给定的水平α,确定拒绝域由于H0不真时,SA值偏大,导致F值偏大。因此,1)若F>F1-a(r-1,n-r)时,拒绝H0,表示因素A的各水平下的效应有显著差异;2)若F<F1-a(r-1