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单因素方差分析在数理统计中的应用
摘要:在详细阐述单因素方差分析原理的基础上,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种结合不仅能激发学生的学****兴趣,而且能培养学生自己动手、解决问题的能力。
关键词:单因素方差分析;数理统计;数学建模;应用;假设检验
0 引言
方差分析又称“变异数分析”或“F 检验”,是由R. A. Fisher 发明的,用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析是检验在一种因素影响下,两个以上总体的均值彼此是否相等的一种统计方法。由于单因素方差分析的原理抽象、计算繁琐、导致教学枯燥无味。基于此,文中详细阐述了单因素方差分析的原理,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种从理论到应用,再从应用到上机实现的过程,让学生体会到“学以致用”的真正含义,激发了学生的学****兴趣,同时也提高了学生的动手能力。
1 单因素方差分析原理
设单因素A 具有r 个水平,分别记为A1,A2,…,Ar ,在每个水平Ai (i =1,2,…,r)下,要考察的指标可以看成一个总体Xi (i =1,2,…,r)且Xi ~ N(μi ,σ2 ),水平Ai (i =1,2,…,r)下,进行ni 次独立试验,样本记为Xij ,i =1,2,…,r,j =1,2,…,ni ,Xij ~ N(μi ,σ2)且相互独立。1. 1 建立假设
假设检验为H0:μ1 = μ2 = ……= μr . ,备择假设为H1:μ1,μ2,…,μr 不全相等。
由于Xij - μi = εij ,记μ= Σni μi ,n = Σni . ,αi = μi - μ,i =1,2,…,r,则
数学模型为:
Xij = μ+ αi + εij ,i =1,2,…,r,j =1,2,…,ni
Σni αi =0
εij ~ N(0,σ2),各个εij相互独立,μi 和σ2 未知
故原假设改写为: H0:α1 = α2 = ……= αr =0 (1)
1. 2 构造统计量
为了构造检验假设(1)的统计量,首先,需要找到引起Xij波动的原因。从Xij = μ+ αi + εij中可以看出,若检验假设(1)为真,则Xij的波动纯粹是随机性引起的;若检验假设(1)为假,则Xij 的波动是由第i 个水平和随机性共同引起的。因而,需要构造一个量来刻画Xij 之间的波动,并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示,这就是方差分析中的平方和分解法。
记Xi•. = ΣXij , = ΣΣXij
引入ST = ΣΣ(Xij -)= ΣΣ(Xij -Xi•) + ΣΣ(Xi•-)= SE + SA
又因为SA = Σ(X -i•-X ) = Σ(αi + εi•-ε)
SE = ΣΣ=(Xij -Xi. )= ΣΣ(εij - εi•)。
若H0 成立,SA 只反映随机波动,若H0 不成立,SA 还反映了A 的不同水平效应αi 。单从数值上看,当H0成立时,SA / (r -1) SE / (n - r)≈1,而当H0 不成立时,这个比值将远大于1。可以证明: