研究生入学考试数学三模拟试题参考答案.doc

年研究生入学考试数学三模拟试题参考答案填空题(本题共小题,每小题分,)()设函数()满足,().则.[解]应填–.由,于是()设连续,若在点()处关于的偏导数均存在,则应满足.[解]应填由题设在处关于的导数存在,得()已知,且(),则().[解],有,即,解此微分方程,得(),由(),知,故().()二次型的正负惯性指数都是,则.[解]应填,由于()若,则(),不合题意;若符合题意,故.()设独立,(),(),则.[解]应填()设和为总体()的样本的样本均值和样本方差,若为的无偏估计,则常数.[解],,于是,、选择题(本题共小题,每小题分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)()设则()()极限不存在.()极限存在但不连续.()连续但不可导.()可导.[][解],所以(),故应选().()设函数()在(-¥,¥)内连续,.如果()是单调增加的偶函数,则()是 ()单调增加 的偶函数. ()单调增加 的奇函数. ()单调减少 的偶函数. ()单调减少 的奇函数.[][解]-,(),所以,为奇函数,为偶函数,即(),即(),选().()设和为常数,且,则(),(),()()[][解]应选由于,故应选().()设()连续可导,,则等于()()()()()[][解]().()设正项级数的部分和为,又,已知级数收敛,则()收敛()发散()条件收敛()收敛[][解],,于是,故应选().()设为阶矩阵,考虑以下命题:①只有零解;②有唯一解;③的行向量组线性无关;④()①②④.()②①④.()④①③.()③②①.[][解],知,于是只有零解,进而可推知的列向量组线性无关,故应选().()设为阶矩阵,考虑以下命题:)与有相同的特征值与特征向量;)若,则有相同的特征值与特征向量;)若有相同的特征值,则一定相似于同一个对角矩阵;)若有相同的特征值,则()().成立的命题有()个()个.()个.()个.[][解];,则有相同的特征值但同样特征向量不一定相同;有相同的特征值,但不一定可对角化,从而不一定相似于同一个对角矩阵;有相同的特征值,推不出()(),().()设()为二维随机变量,则与独立的充要条件为()独立.()独立.()独立.()独立.[][解],则、、、均独立;但反过来,只有独立时,才可推导出与独立,即故应选().三、解答题(本题共小题,、证明过程或演算步骤)()(本题满分分)设(),其中()具有二阶导数,且,,求[解]令()(本题满分分)设函数()在闭区间[,]上连续,在开区间(,)内大于零,并满足(为常数),又曲线()与所围的图形的面积值为,求函数(),并问为何值时,图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.[解]直接解微分方程,或由()的连续性知().又由已知条件因此,所求函数为旋转体的体积为,令又,故当时,旋转体体积最小.()(本题满分分)设()在区间[]上可导,且,.证明:存在,使[证]令,,则,()即结论。()(本题满分分) 函数()二阶偏导数连续,满足,且在极坐标系下可表成()(),其中,求().[解]由题设,有,根据,得,故()()(本题满分分) 设证明当时,幂级数收敛,并求其和函数.[解],所以在(),可得递推式:,于是,所以()(本题满分分)设为四维列向量组,且线性无关,.已知方程组有无穷多解,()求的值;()用基础解系表示该方程组的通解.[解] 由已知,得矩阵的秩小于,又线性无关,所以,矩阵不可逆,()(),因为线性无关,所以,.()(本题满分分)设是三阶矩阵的三个特征值,其对应的特征向量依次为证明:(),()把用线性表出,(),,从而()(本题满分分)设,对作两次独立观察,其值分别为,令求及求与的联合分布律[解]()由 与独立()()(本题满分分)设总体服从指数分布,概率密度为为取自总体的简单随机样本。证明仍服从指数分布;求常数使为的无偏估计;()指出与哪个更有效。[解]():()(),比更有效。