解析函数的孤立奇点.doc

..解析函数的孤立奇点————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 第五章教学课题:第二节解析函数的孤立奇点教学目的:1、掌握孤立奇点的三种类型;2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理;3、归纳奇点的所有情况;4、充分理解关于本性奇点的两大定理。教学重点:孤立奇点的三种类型教学难点:孤立奇点的三种类型的判定定理教学方法:启发式、讨论式教学手段:多媒体与板书相结合教材分析:孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型,以解析函数的洛朗级数为工具,研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。教学过程:1、解析函数的孤立奇点:设函数f(z)在去掉圆心的圆盘内确定并且解析,那么我们称为f(z)的孤立奇点。在D内,f(z)有洛朗展式其中是圆。为f(z)的正则部分,为f(z)的主要部分。例如,0是的孤立奇点。一般地,对于上述函数f(z),按照它的洛朗展式含负数幂的情况(主要部分的情况),可以把孤立奇点分类如下:2、可去奇点如果当时n=-1,-2,-3,…,,那么我们说是f(z)的可去奇点,或者说f(z)在有可去奇点。这是因为令,就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)。例如,0分别是的可去奇点、单极点及本性奇点。(z)在内解析,那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是:存在着极限,,其中是一个复数。证明:(必要性)。由假设,在内,f(z)有洛朗级数展式:因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R,所以它的和函数在内解析,于是显然存在着。(充分性)。设在内,f(z)的洛朗级数展式是由假设,存在着两个正数M及,使得在内,那么取,使得,我们有当n=-1,-2,-3,…时,在上式中令趋近于0,就得到。于是是f(z)的可去奇点。(z)在内解析,那么是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是:存在着某一个正数,使得f(z)在内有界。(Schwarz)引理如果函数在单位圆内解析,。如果只有有限个(至少一个)整数n,使得,那么我们说是f(z)的极点。设对于正整数m,,而当n<-m时,,那么我们是f(z)的m阶极点。按照m=1或m>1,我们也称是f(z)的单极点或m重极点。设函数f(z)在内解析,是f(z)的阶极点,那么在内,f(z)有洛朗展式:在这里。于是在内在这里是一个在内解析的函数,并且。反之,如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状,而是一个在内解析的函数,并且,那么可以推出是f(z)的m阶极点。(z)在