复合函数的黎曼可积性.doc

复合函数的黎曼可积性吴亚敏()鄂东职业技术学院,湖北黄冈438000[摘要]复合函数的黎曼可积性质在几何学、,并给出了应用.[关键词]复合函数;黎曼可积;连续性;可导性()[中图分类号][文献标识码]A[文章编号]1673-8012200804-0026-03复合函数的相关性质在几何学、,人们对复合函数的可导性、可微性等研究较多,[1-2]及复合函数性质在其他学科中的应用,,:)(fx()()()e在1设fx在[a,b]上黎曼可积,证明:[a,b]上也黎曼可积2004年.()))(((())2设fx在[a,b]上黎曼可积,且fx?c,常数c>:lnfx在[a,b]上也黎曼可()}为对()Δ[a,b]的任一分割:函数fx在[a,b]上有界,设T={,ni=1,2,i==x<x<x<<x<x012n-1nΔ(ωΔ())记x=x-x,=[x,x],i=1,2,,=inf{fx},M=sup{fx},=M-m,称iii-1ii-1iiiiiiΔΔx?ix?i()()Δω为fx在上的振幅,[3-4]()()ε引理1函数fx在[a,b]上有界,则fx在[a,b]上可积的充要条件是:对Π>0,总nωΔε存在某一分割T,使x<.ii?i=1(())定理1若函数fx在[a,b]上黎曼可积,Fx是一个具有连续导数的函数,则复合函数(())Ffx在[a,b]上也黎曼可积.()()证明因为Fx是一个具有连续导数的函数,fx在[a,b]上黎曼可积,故可设()<M,M为常数,且对[a,b]上任意分割<x<x<<xT,a=x<x=′{fx}012n-1nΔΔω()()x=x-x,=[x,x],i=1,2,=inf{fx},M=sup{fx},=M-,-1ii-1iiiiiiΔΔx?ix?innεεωΔω()Δε()()Π>0,有x,即要证hx<.对Πx′>0,x″?[x,<.记hx=F{fx}iiiiiii-1??Mi=1i=1ξ()()x],在fx′与fx″之间,iii=?(ξ)()(ξ)()()()()()F′{fx′F′F{fx′}-F{fx″}-fx″}fx′-fx″iiiiiiiiω?M.?M()()ifx′-fx″ii3[收稿日期]2008-03-11()[作者简介]吴亚敏1960-,男,湖北黄冈人,副教授,-mail:******@26nnεω()ωω()ΔωΔε故h=sup?M,因此hx?Mx<M=.由引))((iiiiiiF{fx′}-F{fx″}ii??ΔiMi=1i=1(())理1知Ffx在[a,b]上黎曼可积.()()()推论1若函数fx在[a,b]上黎曼可积,fx,fx是两个具有连续导数的函数,则复合函12()数f{f{fx}}在[a,b]((()))证明函