函数黎曼可积性.doc

函数黎曼可积性深究罗俊逸以下的“可积”皆指“黎曼可积”。定义 1:称有界函数 f为[a,b] 上的次级离散函数(简称次离散函数), 若: 1、f仅有有限个间断点; 或: 2、f有无限个间断点,所有这些间断点仅有有限个聚点。定义 2:在闭区间[a,b] 上,连续函数与次离散函数统称次级函数。定义 3: 称有界函数 f为[a,b] 上的超级离散函数(简称超离散函数),若f有无限个间断点且它们有无限个聚点。性质: [a,b] 上的任何有界离散函数, 要么是次离散函数, 要么是超离散函数。(这是显然的) 根据定义和性质, [a,b] 上的所有有界函数的集合关系如下: 定理 1:所有次级函数可积。推论 1:若 f为[a,b] 上的连续函数,则 f在[a,b] 上可积。推论 2:若 f是[a,b] 上只有有限个间断点的有界函数,则 f在[a,b] 上可积。定义 4:设 f为[a,b] 上的超离散函数,若存在[a,b] 上的次级函数 g ,任取 I∈[a,b] ,g在I上有 f 上的无穷个点,则称 f在[a,b] 上可聚,g称为 f的聚集函数(简称聚函数)。定理 2(可聚性定理):任何超离散函数 f可聚,即 f至少有一个聚函数?。定理 3:超离散函数 f可积的充要条件.... 是:f唯一可聚,即f仅有唯一的聚函数。定理 4:设 f是定义在[a,b] 上的可积超离散函数,其聚函数是 g, 则: = 连续函数次级离散函数超级离散函数次级函数离散函数补充: 为方便叙述,笔者自做了些定义,若有冒犯前辈的文献,请谅解。本文的主要思想是函数的划归,点有聚点,函数也可有聚函数。