论文---浅谈不等式的证明方法.doc

论文---浅谈不等式的证明方法.doc浅谈不等式证明的方法摘要:本文以实例为依托,利用微积分的知识对数值不等式,积分不等式,估值不等式等不等式证明的思想方法进行了归纳和总结,:微分;积分;不等式TalkingaboutWaysofProvingInequalityAbstract:Inthispaper,basedonexamples,itusedtheknowledgeofcalculustosummarizethewaysofthinkingtoprovetheinequalitysuchasnumericalinequality,integralinequalityandsothevaluation.,:differentiation;integral;inequalityo前言不等式是数学小的重要内容,也是数学屮的重要的方法和工具•现阶段我们所学的数学知识屮有很多结论都可以用來证明不等式,因此也衍生出证明不等式的很多方法•木文总结了十种证明不等式的方法,/(朗在区间/JL可导,则/(兀)在/上递增(减)的充要条件是f>0(<0).:当x>l时,lnx>-—°・X+I证令 /(x)=(1+x)Inx-2(x-1),X+1 If!(x)=lnx+ 2=lnx+--l,1 1 x-\fh(a)=——〉0(x>l),可知厂(兀)在x>I吋单调递增,故f\x)>厂⑴=0,所以/(x)在[1,+00)上是单调递增的,又得f(x)>/(I),H卩S+l)lnx—2(;i—1)>0,证得 当工〉in寸,"兀〉~~.兀+,且\<m<n,证明:(1+m)n>(1+n)、 一-—x-ln(l+x)证设/(x)=-^^(x>2),则厂(x)= ~, ,y——<1,ln(l+x)>ln^=l,J?rW厂(兀)<0,1+X故/(X)在[2,+00)上为减函数,即ln(l+m)>旦巳,m n所以ln(l+mf>ln(l+n)w,,b,c,满足问<1,0|<l,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c•证构造函数f(a)=(q/?c+2)-(q+Z?+c)=(bc-l)a-(c+b-2),因为V1,|c|v1,所以bc-l<Of故/(a)为关于变数a的一次函数,且/(a)在(-1,+1)(l)=(bc-l)-(c+b-2)=(b-l)(c-l),由0|vl,|c|vl知/(1)>-\<a<\时,有f(a)>/(I)>0,故由题设条件下得abc+2>a+b+,在利用此法证明不等式吋,一般取不等式两边的函数之差为新函数/(切或者根据所要证的不等式构造合适的函数,然后讨论/(x)/(X)满足下列条件:⑴在闭区间[。,方]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;那么,在(Q0)内存在一点、g,使得f(b)-f(a)=f^)(b-a).柯西中值定理如果函数/(x)和g(x)满足下列条件:(1)在闭区间[°,列上连续;(2)在开区间(恥)内可导;(3)广⑴和宀⑴在(血)内的不同吋为零;⑷的)工的,那么,在(讪内存在一点歹,使得晋|=仔匕“⑴g(g) g(b)-g(a)<yv兀及p>1贝!Jpyp~x(x一y)<xp一yp<pxp~x( /⑵=z"(“>l),在[y,A-]±连续,在内可导,满足拉格朗日屮值定理的条件,故有xp-yp=P(x-y^p-1,>1,有严v严v兀M,于是pyp~l(x-)')<xp-yp<pxp~}(x-y).-ln(l+x2)>—-ln2,xg[—,1]・4 2证令/(x)=arctan=ln(l+x2),显然f(兀)和g(x)在[兀,1]上满足柯西中值定理的条件,故存在^G(X,1),使得arctan1一arctan兀_1+孑_I<〔ln2-ln(l+x2)_ ~2^<71 arctanx于是有 <1,即arctanx=-ln(l+x2)>—-In2,ln2-ln(l+x2) 4而当x=I时,arctanx-ln(l+x2)= In2,4即得arctanx-ln(l+x2)>--In2,xe[—,1].4 2注一般地,若要证明的函数不等式或数值不等式含有增量f(IS,或者可以生成增量—(或增量的商,则可考虑借助于拉格朗日b-a屮值定理或柯西屮值定理,