不等式的证明方法论文.docx

重庆三峡学院毕业设计（论文）
题目：不等式的证明方法
院 系 数学与统计学院
专 业 数学与应用数学（师范类）
年 级 2009级
学生姓思维能力. 证明不等式没有固定的模式，方法因题而异，灵活多变，技巧性强.
运用初等数学知识能证明一些不等式，但对于另一些不等式的证明，比如积分不等式，以及简化一些不等式证明，则需要借助高等数学知识. 作为高等数学的核心 ———微积分就是一种实用的证明不等式的方法.
第一章 不等式的基本知识
不等式的概念
不等式的定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.
实数运算的性质（符号法则）
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
不等式的性质
（1）对称性: .
（2）传递性：.
（3）可加性：.
（4）可乘性：，
.
第二章 证明不等式的常用方法
比较法
，下面着重介绍最基本两种———比较法、公式法.
欲证， (1) 只要证明； (2) 如果，只要证明．
例1 已知， 求证：．
证明：
.
说明：作差后为了判断符号，需要恒等变形，而证本题关键正在于联想二次三项式的因式分解.
例2 设，求证：.
证明：因为，
所以，
而，
故.
说明：当式子为指数式时，联想到指数性质，故常用比值法.
比较法是最简单明了的方法，为进一步研究，接下来看另一种方法，用公式法，即利用常用不等式来证明不等式.
公式法
柯西不等式
设，则，
当且仅当时，等号成立．
例1 已知都是正数，求证：．
证明：构造两个数组：，由柯西不等式，得
，即 ，
所以．
均值不等式
，则称为均值不等式.
其中 ，
，
，
.
例2 已知，求证：．
证明：由，，得，，
从而 ，
故只要证明，即即可．
，等号在（这时）时取得，
所以．
排序不等式
设则有
（倒序积和）
（乱序积和）
（顺序积和）
其中是的一个排列，即
倒序积和≤乱序积和≤顺序积和．
例3 设是个互不相同的自然数，证明：
．
证明：设是的一个排列且，
因，所以由排序不等式，得，
．
又因为，故 ，
即．
说明：排序不等式适用于与数的排列相关的问题.
从应用中，可看出在利用重要不等式来证明不等式时必须注意重要不等式所需要的条件，以及有时需要变形等适当处理，凑成重要不等式的形式.
除了已介绍的二种方法，分析法、综合法、反证法、换元法、构造法、放缩法、数学归纳法等也能解决初等数学中多数不等式证明问题，但对于一些不等式的证明，单靠初等方法是不够的，因此，需要借助高等数学知识微积分来更进一步扩广加深证明不等式的研究. 接下来就探讨微积分在证明不等式中的应用.
第三章 微分在证明不等式中的应用
微分证明不等式的主要方法有函数的单调性法、函数极值与最值法、微分中值定理法、函数凹凸性法、.
利用函数的单调性
在证明不等式中最常见，最有用的方法之一就是函数单调性法，先来看相关定理.
定理 　设函数在区间上可导，则在上递增(减)的充要条件是：
．
证明:若为增函数，则对每一个当时有
令即得．
若在区间上恒有，则对任意的应用拉格朗日中值定理，存在，使得由此得到在上为增函数．
定理 设函数在上连续,在内可导，
若在内，，那么函数在上严格单调增加；
若在内，，那么函数在上严格单调递减.
例1 求证：当时，．
证明：设，，
，
由，可知，
，即在上严格递减，
又由于在处连续，故．
例2 已知都是正整数，且，证明：不等式．
证明：原不等式等价于，令
，，则
即在上严格递减，所以，即成立．
说明：对幂指式情况，常取对数，作辅助函数来帮助证明.
由以上例题可总结出函数的单调性法的证明不等式步骤：
移项（或其它等价变形）使不等式一端为0，另一端为所作的辅助函数；
②讨论 符号来确定在指定区间的增减性，
③根据函数的单调性及区间端点处的函数值即可得证.
其中步骤① 是关键，作出适当辅助函数，值得注意的是步骤②讨论符号，有时一阶导的符号不能判断，这就需要判断二阶导数的符号，