初三数学解直角三角形（锐角三角函数）知识精讲.doc

初三数学解直角三角形(锐角三角函数)【本讲主要内容】解直角三角形(锐角三角函数)包括锐角三角函数:角的正弦、余弦、正切,解直角三角形等。【知识掌握】【知识点精析】,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA。,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA。,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA。、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。: ,; ; ,由已知元素求未知元素的过程,就是解直角三角形。 依据: (1);(2);(3);(4)。。【解题方法指导】:在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则tanA等于() A. B. C. D. 分析:设法求出∠A的度数,再求值。 解:Rt△ABC中,∠A+∠B=90° 把∠B=2∠A代入,得 3∠A=90° ∴∠A=30° 故选B。 评析:抓住直角三角形中两锐角互余,求出角的度数。例2.(2002年四川)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,,设∠BCD=α,那么cosα的值是() A. B. C. D. 分析:由∠ACB=90°,CD⊥AB,可知∠BCD=∠A=α,而,故可解。 解:在Rt△ABC中, ∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠BCD=∠A=α 又故选D。 评析:此题利用图中的等角关系,使cosα转化为cosA,从而使问题得到解决。此题还可以利用△BCD∽△BAC,得出。例3.(2005年山西)如图,将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处,使斜边CD//AB,则∠α的余弦值为_________。 分析:关键是由∠C=30°,∠COD=90°,求出∠α的度数。由CD//AB,可知∠AOC=∠C=30°,而∠AOB=180°,因此∠α的度数可求出,至此思路已通。 解:∵CD//AB, ∴∠AOC=∠C=30° ∵∠COD=90°,∠AOB是一个平角, ∴∠α=180°―∠AOC―∠COD =180°―30°―90°=60° 评析:此题用到了平行线的知识,平角的知识,以及特殊角的余弦值,要善于观察图形。例4.(2003年北京)在Rt△ABC中,∠C=90°,,则sinB的值为()A. B. C. D. 分析:由正切函数的定义可知,,而,关键是求出c,可设参数加以解决。 解:由 设故应选B。 评析:此题是由tanA转化为sinB,要从定义出发,通过设参数加以解决,这种方法很重要,要牢记。例5.(2005年海南)如图,在△ABC中,∠A=30°,,则AB=_________。 分析:由于AB不是直角三角形的一条边,因此要设法使∠A、∠B分别是直角三角形的一个锐角,再应用三角函数去求。 解:作CD⊥AB于D(如图) 在Rt△ACD中, ∵∠A=30°, 在Rt△BCD中, 评析:此题是解斜三角形,要回归定义,使图中出现直角三角形。因此作CD⊥AB于D,分别解两个直角三角形即可。这种回归定义的思想很重要,要学会应用。【考点突破】【考点指要】 解直角三角形的知识十分重要,在图形的计算以及解决实际问题中都有着广泛的应用,正因为如此,所以在中考试题中频频出现,但大多把有关三角函数及特殊角的三角函数值当作一个工具,用以解决其他问题,难度不是很大,应熟练加以掌握。对于解三角形的四种情况不要死记硬背,结合图形应用三角函数的定义去推导即可。【典型例题分析】:如图,∠ABC=∠BCD=90°,AB=6,,CD=12,求∠D的三个三角函数值。 分析:由于∠BCD=90°,CD=12,欲求∠D的四个三角函数值,还需求出BC、BD的长,而BC又是Rt△ABC的一条边长,可由AB=6,求得BC的长。 解:在Rt△ABC中, ∵∠ABC=90°, 设BC=4x,AC=5x,则∴x=2,x=-2(舍去负值) ∴BC=4x=4×2=8, 在评析:当给出后,一般利用设参数的方法去求出边长,而不要由,便得BC=4,AC=5。例2.(2002年天津)某片绿地的形状如图所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长(精确到1m,)。 分析:欲求AD、BC的长,若联结AC,则使60°的角受到破坏;若联结BD,将使直角受到破坏,能否既构造出直角三角形,又不使60°的角和直角受到破坏,可采取延长AD、BC,使它们交于E点,于是得到两个直角三角形,从而为应用三角函数的定义创造了条件。 解:延长AD、BC,它们交于点E 在Rt△