初三数学解直角三角形、锐角三角函数的简单的运用江苏科技版知识精讲.doc

初三数学解直角三角形、锐角三角函数的简单的运用江苏科技版
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
解直角三角形、锐角三角函数的简单的运用
二. 教学目标:
1. 掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念,并能运用直角三角形的两个锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形。
2. 了解仰角、俯角、水平线、铅垂高度、坡角等概念,并会用解直角三角形的有关知识解决某些实际问题。
三. 教学重、难点:
教学重点:运用转化的思想把不规则的图形转化为直角三角形,运用解直角三角形的知识,恰当地选择三角函数关系式,正确地解直角三角形。
教学难点:恰当地选择三角函数关系式,正确地解直角三角形
[课堂教学]
一. 知识要点
知识点1 解直角三角形的概念
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,c=5,如何求∠B,a,b呢?
由∠A+∠B=90°,∠A=50°,得∠B=90°-∠A=40°,
由sinA=a/c,得a=csinA=5sinA≈5×≈,
由cosA=b/c,osA=5cosA≈5×≈
上述问题中,我们除了直角外,已知一条边和一个锐角,求未知两条边和一个锐角,于是有:
在直角三角形中由已知元素求未知元素的过程,就是解直角三角形。
(说明)直角三角形中共有六个元素,即三条边和三个角,除去直角外,另外的五个元素中,只要知道一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素
知识点2 解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边。
(1)三边之间的关系:(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,sinB=b/c,cosB=a/c,tanB=b/a
(4)直角三角形的有关定理.
①直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
②直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
③直角三角形中,若一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°.
④直角三角形中,,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则CD2=AD×=AD×AB,CB2=BD×BA.
面积公式:如图所示S△ABC=CA×CB=AB×CD.
【说明】在运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形
锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,∠B=90°-∠A
三边之间的关系:,,
边角之间的常用变形:a=csinA,osA,a=btanA,osB,b=csinB,b=atanB.
知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法
解直角三角形有四种基本类型:(1)已知斜边和一直角边;
(2)已知两直角边;
(3)已知斜边和一锐角;
(4)已知一直角边和一锐角,
其解法步骤列表如下:
图形
已知类型
已知条件
解法步骤
两边
斜边,一直角边(如c,a)
(1)
(2)由sinA=a/c,求∠A
(3)∠B=90°-∠A
两直角边(如a,b)
(1)
(2)由tanA=a/b,求∠A
(3)∠B=90°-∠A
一边一角
斜边,一锐角(如c,∠A)
(1)∠B=90°-∠A
(2)由sinA=a/c,求a=csinA
(3)由cosA=b/c,osA
一直角边,一锐角(如a,∠A)
(1)∠B=90°-∠A
(2)由tanA=a/b,求b=a/tanA
(3)由sinA=a/c,求c=a/sinA
例如:在Rt△ABC中,∠C=90°,,,解这个直角三角形.
[分析]可画出图形,如图所示,已知条件中的两条边是直角边,用∠A的正切求出∠A,由90
°-∠A求出∠B,由勾股定理求出斜边c.
解:在Rt△ABC中,
∵,
∴∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=60°,
由勾股定理.
(1)在求直角三角形的有关问题时,要画出图形,以利于分析问题。
(2)选择关系式时,要尽量利用原始数据,使计算更加准确。
知识点4 仰角、俯角
如图所示,OC为水平线,OD为铅垂线,OA,OB为射线,我们把射线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角;把线OB与水平线OC所形成的∠,射线与水平线所形成的角中当射线在水平线上方时叫做仰角;当射线在水平线下方时叫做俯角.
知识点5 坡角、坡度
如图所示BC表示水平面,AB表示坡面,我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角
一般地,线段BC的长度称斜坡AB的水平宽度,线段AC的长度称为斜坡的铅垂高