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数学证明方法摘要:数学证明是数学学****中非常重要的一部分,数学证明有核实作用,理解作用,发现作用和思维训练作用,数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。关键词:数学证明;意义;方法数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,它的应用非常广泛,是学****现代科学技术必不可少的基础学科。学****数学,就离不开数学证明,这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢?许多人认为数学证明是根据相应的公理,法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学****中非常重要的一部分,在不同的情境中,数学证明有不同方法。数学证明的方法(一)综合法和分析法综合法是从命题的条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到要证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发,一步一步的搜索下去,最后达到命题的已知条件的方法。1cossin例1求证sin=1cos2sinsin方法1:左边=sin(1cos)=1cos=右边所以得证。sin(1cos)sinsin(1cos)方法2:右边=1cos==(1cos)(1cos)12cossin(1cos)1cos2==sin=左边sin所以得证。21cos方法3:sin2sin22sincos=222sincos222cos=tan2=22sin=1cos所以得证。1cossin方法4:要证sin=1cos只需要证(1cos)(1cos)sinsin即要证2sin21cos,显然,这个命题成立,故得证。上述例题的四种解法中,前三种是用综合法解的,而第四种解法是用分析法解的。在证明的过程中,我们用到了同角三角函数的关系,半角公式等等。所以,通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性,还知道了为什么正确,同时还增进了对同角三角函数的关系,半角公式等等的理解。从例1我们可以看出,综合法的特点是从“已知”逐步推向“未知”,其逐步推理,实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件。综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看,综合法是由已知的寻找未知的,即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论,因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的,即由结论慢慢推出所需要的条件,这样比较容易解决问题。就表述证明的过程而论,综合法的形式比较简洁,条理清晰,分析法由于倒过来叙述,因而比较繁琐,文辞冗长。这也就是说,分析法有利于思考解决问题,综合法宜于表达问题。因此在解题时,可以把分析法和综合法结合起来使用,先以分析法为主,寻找解题思路,再用综合法有条理的表述证明过程。(二)反证法通过证明论题的否定命题不真实,从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。反证法的一般步骤如下:假设命题的结论不成立,即结论的否定命题成立。从否定的结论出发,逐层进行推理,得出与公理或前述的定理,定义或题设条件等自相矛盾的结论,即说证明结论否定不成立。据排中律,最后肯定原命题成立。反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况,只要把这种情况推翻,就能肯定结论成立,这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况,就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒,才能肯定结论成立,这种反正法叫做穷举法。例2求证2是无理数。2pp2q证明:假设2是有理数,且为既约分数