不定积分的计算.ppt

不定积分的计算、第一换元积分法第二换元积分法三、分部积分法第一换元积分法问题∫cos2dx=解决方法利用复合函数求导的逆运算,=2x→dx=lt,2in2x+C=cos2x说明结果正确对于形如∫f(9(x)()dk的积分,设u=9(x)如果f(a)及(x)连续,且∫f(a)dm=F(a)C,则∫f((x)(xdx=F(o(x)+C该积分法可由下面的逆运算证明[F(0(x)+Cc]=F((x)o(x)=f((x)9(x这种积分方法也叫做“凑微分法”。定理1设∫(an)具有原函数F(),u=qx)连续可导,则有换元公式f((x)o'(x)dx=lf(udu=F((x)+C如何应用上述公式来求不定积分?假设要求|g(x)d,则使用此公式的关键在于将∫8(对)化为∫fo(x)(x)dx的形式,所以,第一类换元积分法也称为凑微分法例1求想到公式2x+1x解u=2x+1,dn=d(2+1)=2dr,则JaInlu+C2dx=d(2x+1)2x+12J2x+12x+1uInlu+c注意换回原变量ln|2x+1|+=-cosu+u=Idhu=2xdx则xsinxdx=sinx".osx+C这种换元法又称为凑微分法或配元法,即引进一个新变量以代替原来的变量,对于变量代换熟练以后,可以不写出中间变量u例1求∫2x+1解法二d(2x+1)2x+12J2x+1ln|2x+1|+|sinvxd解∫√=2my2|sin√xdyx2cos√x+,有f(√x)dx=2|f(√x)d例4求|tanxdxcosr=-sinrax解mx==Jsmn)dcosx-du=osx=-Incosx+C类似jcotxdx=?dSInxcotxdx=Isinx+CsInxSinx例5求|sin2xcosxdxdsinx=cosxdx解sinxcosrax∫(smnx)dsinx=sinx+'dusu+c一般地,有sinxf(cosx)dx=-1f(cosx)dcosx;osx·f(sinx)x=」f(inx)dsinx