解析函数的孤立奇点与留数.ppt

解析函数的孤立奇点与留数留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志;留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。孤立奇点及其分类:1定义若f()在z不解析,但在a的某一去心邻域0<z-zlk<8内解析,则称z0为fz)的孤立奇点由定义可知,若x为fz)的孤立奇点,则意味着在x0的某个领域里只有0个奇点。并非所有的奇点都孤立,例如:(z)的孤立奇点,则(x)在0<z-<8内解析,(x-21)若无负幂项,则称为fz)的可去奇点;2)若只有有限个负幂项,则称z为几)的极点;若Cmn≠0,而cn=0(n<m),则称z0为(z)的m级极点,3).若有无穷多个负幂项,则称x0为fx)的本性奇点判别(1)如果为fx)的可去奇点,分m∫(xz)=c,(2)z0为(x)的极点imf(z)=∞z→>(z)的m级极点im(z-z0)^f∫(x)=∞,0≤k<mi(z-z0)"f(z)=Cm,cm为有限复常数;(3)z0为f(z)的本性奇点:台limf(x)不存在也不为∞z→(1)定义:若解析函数(x)能表示成f(x)=(x-x)2g(z)其中以z0)0,且(z)在处解析,m为某一正整数,则称x为/(x)的m级零点(2)性质(a)如果f(x)在x处解析,那么x为f)的m级零点分→f((za)=0(n=0,1,2,…,m-1),fm(x0)≠0(b)z0为(x)的m级极点令为的m级零点f(z例1求下列函数的奇点,并指出其类型:(1)f(z)=z(sin-)z=0为非孤立奇点zkk丌为1级极点(2)∫(z)=(z+1)sinzzˉ(z-1)z=1为2级极点z=-1为可去奇点z=0为1级极点1(3)∫(z)=1)z=0为f(x)的3级极点,xk=2kni(k=±1,…)为∫(x)的1级极点(4)/(z)=zcs1z=0为f(z)的本性奇点(5)f(z)=(6)∫(x)=SIn2(1+z-)((1)分类:若f(z)在z=∞的去心邻域R<kk+∞内解析,则称∞为f(z)的孤立奇点令t=1/,则t=0是@(t)=f11)的孤立奇点我们规定:若t=0是()=f(10)的可去奇点m级极点,本性奇点则称z=∞是(x)的可去奇点(m级极点,本性奇点)2判定若f()在R<k<+∞内解析,则在此圆环内有∫(z)=∑cz+∑cnz"’,(*)z=∞为可去奇点令Iimf(z)=c台∫(z)=∑Cnz"(R<kz|<+∞)不含正幂项z=∞为极点∫(z)=∑Cnz"(R<kz<+a)只含有限个正幂项z=∞为m级极点分C,≠0,C,=0(n>m)仝limf(z)=∞x→①z=∞为本性奇点ef(z)=∑C,z"(R<kz<+)含无穷多个正幂项台limf(z)不存在且不为∞关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定,当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Lauren展式。