线性变换.doc

MATLAB软件应用
第七章 线性变换
例1：求矩阵特征值和特征向量
，并将其对角化. 
解1：：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
E=eye(3);
syms x
f=det(x*E-A) %矩阵A特征多项式
solve(f) %矩阵A特征多项式根，即A特征值
%所以A特征值为x1=5,x2=x3=-1.
%（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系
syms y
y=5;
B=y*E-A;
b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系
%（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系
y=-1;
B=y*E-A;
b2=sym(null(B)) %b2为（x2*E—A）X=0基础解系
T=[b1,b2] %全部特征向量在基下坐标所组成矩阵
D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D
运行结果以下：
f =
x^3-3*x^2-9*x-5
ans =
5
-1
-1
b1 =
sqrt(1/3)
sqrt(1/3)
sqrt(1/3)
b2 =
[ sqrt(2/3), 0]
[ -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]
[ -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]
T =
[ sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0]
[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]
[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]
D =
[ 5, 0, 0]
[ 0, -1, 0]
[ 0, 0, -1]
解2：：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
d=eig(A) %求全部特征值所组成向量
[V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成矩阵
inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D
运行结果以下：
d =
-1
-1
5
V =
247/398 1145/2158 780/1351
279/1870 -1343/1673 780/1351
-1040/1351 1013/3722 780/1351
D =
-1 0 0
0 -1 0
0 0 5
ans =
-1 * *
*