2021年金融数学.ppt

第一节 单期二叉树


时间区间 ，假定股票在时只有上升或下降（价格只有两种可能）



即：在 内无摩擦：无交易费用（税，交易费，红利等）
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设无风险现金债券的利率为r，在t=0时可以以
的价格买入或卖出，在时刻 时确定的增值为
3.（未定权益）补偿需求或奖罚函数
在上述简单情况下（二叉数,设远期合约的交易价格（敲定价格）为k，即 可设
（即衍生品的价值）
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二、无风险组合（复制）
1、二叉树股票价格的期望值（数学期望）
期末时衍生品（未定权益）的期望价格为

若期初购买价格为 的现金债券
到期末时其价值为 此值恰好是此股票远
期的期望值。此种组合投资可保证在期望意义下盈亏平衡。
即用债券的组合策略来复制远期的价格。
问题：数学期望暗含大数定律，是一个不可执行的价格
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（以远期为例）
考虑一般组合 ,其中 为股票S所占份数
（价值 ）
为现金债券B所占份数（价值 ）在零时刻买入该组合成本为
（注：未必 ）
在时刻（0→ ）组合价值有两种可能：
（股价上升）
（股价下降）
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上式表示两种可能的未定权益值。令
（对于不同的 ，就有不同的f(2),f(3)）.
解上述方程组得
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我们买入组合投资 并持有它，则当股价上升，组合价值为f(3),当股价下降时组合价值 f(2) 。
衍生品的价格（即股票远期合约的交易价）为
即我们通过债券及股票的组合 复制了衍生品的价格。
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结论：
V是该衍生品的交易价格为P（买或卖）
（1）若P<V，则投资者可以从做市商的手中买入任意数量的该衍生品，再到市场上抛售与之匹配的组合（指债券+股票）则该组合的价值正好与P抵消（无风险交易），投资者（买方）购买一个衍生品（组合）可获利V-P=π，通过无限量购买，投资者可获利任意的无风险收益（套利，免费午餐）
故必有 P≥V
（2）若P>V 做市商以高于V的价格P买卖该衍生品）则投资相应的买入组合，然后立即卖出该衍生品，从而获利（无风险）π=P—V（套利，利润）
从而P≤V
综上所述：P=V 是衍生品唯一的无套利价格
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例 单期过程(赌局二叉树，掷硬币)
赌局下注（赌注）
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S3出现
S2出现
不考虑贴现（相当于股指期货或远期）
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买入组合 ：卖出2/3单位的股票， 借入1/3单位的债券，组合在零时刻的价值为 股价上升时，组合价值（期末）为 股价下降时，组合价值（期末）为 该组合模拟了赌局支付，
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