弯管制作中的数学建模和函数拟合.pdf

弯管制作中的数学建模和函数拟合——TI-83Plus计算器的回归分析功能大同中学平容旎观察一下身边的烟道、铁门、广告牌等,是否用到各种弯管?制作这类弯管时,通常先在平面材料上剪裁出展开图,再合拢、拼接出弯管。我们将要动手制作如图(1)所示的圆柱弯管。准备好一张16K的纸,一个薯片罐,TI-83计算器。(1)【探究一】斜截薯片罐一分为二,要确保斜截面是平面。可以将斜截面置于桌面来检验,若截口与桌面没有空隙则为平面。把其中一个斜截圆柱的侧面剪开并摊平,如图(2)所示。要画出这个斜截圆柱的侧面展开图,关键在于截口轮廓线,也就是图()中的曲线'。2A1BCDA1'(2)猜测曲线A1BCDA1是什么曲线?抛物线?圆弧?正弦函数?或者是其它类型的曲线?以下是小张同学利用TI83计算器做的一个函数拟合步骤一:将圆柱底面的圆周十六等分;步骤二:从每个等分点画一条与底面垂直的直线,在截口轮廓线上找到与每个等分点对应的点;步骤三,依次测量每个等分点与其对应点之间的距离,得到以下一组数据:n123456789101**********:创建n、h两个数组,并以n为Xlist,以h为Ylist作出离散图;步骤五:用正弦函数模型拟合这两个数组你也可以参照以上步骤,做其它函数模型(如二次函数)的拟合。比较不同拟合的图像和误差,来检验你的猜测。【探究二】拟合实验表明,斜截圆柱的截口轮廓线符合函数y=Asin(ωx+ϕ)+B。(该函数的推导过程参见附一,其中用到高二的立体几何知识)那么参数A、B、ω、ϕ与弯管的形状和大小有什么关系?例:图(3)是一个斜截圆柱的侧视图,根据所给出的条件,则拼45°接制作这样一个斜截圆柱需要多少面积的材料?13cm解:侧面展开后,截口轮廓线是一个周期的正弦函数曲线5cm根据正弦函数的对称性,展开图割补成矩形(3)5+13长为底面周长8π,高为=92∴需要72πcm2的材料例:如图(4)所示,裁剪一张a×b大小的矩形纸张,拼接出一个圆柱直角弯管,试求截口轮廓线的正弦函数解析式。b(分析)参数B、ϕ对曲线的形状没有影响,仅与曲线横向、纵向的a位置有关,可忽略不计。因此只需求解函数y=Asinωx2π2π解:T==b∴ϖ=Qϖbbdb又2A=d底面直径d=∴A==()Qπ22π4b2πx∴y=sinx∈[0,b]2πb【实践】用一张16K纸(×27厘米)制作一个圆柱直角弯管,要使其容积最大,如何裁剪、拼接?请给出设计方案、明确制作步骤。参考方案z裁剪出的展开图合拢后得到两个斜截圆柱。正弦函数曲线围成一椭圆,两个不同角度拼接,分别成圆柱和弯管,两者等积。设a=,b=27a1若以a为底面圆周,则体积V=π⋅()2⋅b=a2b12π4πb1若以b为底面圆周,则体积V=π⋅()2⋅a=b2a22π4πQa<b∴V1<V2所以,以矩形较长的一边为底边体积大。272πxzy=sin≈∈[0,27]2π27z用描点法画函数y=,拼接正弦函数的曲线是轴对称图像,因