毕业论文--实正定矩阵的性质和判定方法.doc

1 实正定矩阵的性质和判定方法摘要: 主要归纳了实对称正定矩阵的若干性质,搜集总结了实对称正定矩阵的一些判定方法,对一部分实正定矩阵的性质和判定作了讨论和证明. 关键词: 实对称正定矩阵;实正定矩阵;性质;判定方法 2 Characteristics and judgment methods of real symmetry positive definite matrix Abstract : Some characteristics and judgment methods of the real symmetr y positive definite matrix are concluded. Also, the characteristics and judgment methods of some real positive definite matrix are discussed and proved. Key word s: real symmetr y positive definite matrix; real positive definite matrix ; characteristics; judgment methods 3 目录 1 定义……………………………………………………………………………(4) 2 性质……………………………………………………………………………(4) 实对称正定矩阵的性质…………………………………………………(4) 实方阵正定的性质………………………………………………………(5) 3 实对称矩阵的判定方法………………………………………………………(6) 参考文献…………………………………………………………………………(11) 谢辞………………………………………………………………………………(12) 4 1 定义定义 1 实对称矩阵 A 称为正定的,如果二次型 1 2 ( , , ) n f x , x x T?= X AX 正定. 定义 2设A 为阶实方阵(不一定对称) ,若对任意实向量 0?X 均有 0 T> X AX ,则称 A 为正定矩阵. 2 性质 实对称正定矩阵的性质定理 1若A 为实对称正定矩阵,对任意的 n 维非零列向量 X ,都有 0f T ( ) = > X X AX .定理 2f 的正惯性指数为 n . 定理 3若A 为实对称正定矩阵, A 的特征值全大于零. 证明设λ是矩阵 A 的任一特征值, X 为其相应的特征向量,则有λ= AX X ,而有 1, 2, ( ) 0 n f x x x λ? T T = > ? X AX X X ,因此λ0> . 定理 4若A 为实对称正定矩阵, A 合同于单位矩阵. 定理 5若A 为实对称正定矩阵,存在 n 阶可逆矩阵 P ,使 A T= P P . 定理 6若A 为实对称正定矩阵, A 的主子式全大于零. 证明设正定矩阵 A ( ) ij n n a ??,它的任意一个 m 阶主子式为( ) k1k1 k1km m kmk1 kmkm a a a a ??? ??? A .作两个二次型 T X AX 和?? mT Y A Y , 对任意 0 ( , , ) 0 k1 km b b ?=? Y , 有 0 1 ( , , ) 0 n c c ?=? X , 其中 1 2 , , , , 0, i m i b i k k k c ?????? T X AX 正定,知 00 T0> X AX ,而( ) 0 0 0 0 0 m? T T Y > X AX A Y ,由于 0Y 的任意性,即证得?? mT Y A Y 是正定二次型,故( )0 m>A . 5 定理 7如果 A ,B 均为同阶实对称矩阵,证明: AB 的特征值均大于 0. 证明 A 正定, A 合同于 E ,即存在实可逆矩阵 P ,使?? 1 -1 -1 -1 -1 -1 ; ; ( ) ( ) 1 T T T T = = = = -