四年级奥数 奇偶分析法综合讲解及补充练习.doc

第六节 奇偶分析法
内容讲解
整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以处，我们还应掌握以下性质：①设a，b为整数，则a与an的奇偶性相同：a+b，a-b的奇偶性相同．②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反．若m为整数，b为偶数，则m±b的奇偶性与m相同．③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同．
例题剖析
例1 下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中至少有几个偶数？
□＋□＝□，□－□＝□，
□×□＝□，□÷□＝□．
分析：由于本题所涉及的奇数与偶数的和（差）或积（商），故可应用奇偶数的基本性质求解．
解：根据条件和奇偶数的基本性质知，加法和减法中至少有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有两个偶数，故这12个整数中至少有6个偶数．
评注：在解此题时，要注意将和与差，积与商并在一起共同研究．
例2 在1，2，3，…，2007，2008的每一个数前，任意添上一个正号或负号，试判断它们的代数和是奇数还是偶数？
分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，但可从1+2=3，2-1=1；3+4=7，4-3=1…．可见两个整数之与这两个整数之差的奇偶性质是相同的，于是我们可以从这条性质入手．
解：因为两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在给出的数字前面添上正号或负号不改变其奇偶性．而1+2+…＋2007+2008==1004×2009为偶数．
所以已知数字作为变换后的代数和仍为偶数．
评注：此题通过对一些具体的数字的研究推出一般性结论，是由于已知数为有限整数．
例3 已知x，y是质数，z是奇质数，且x（x+y）=z+8，求y（x+z）的值．
分析：此题的关键是从x（x+y）=z+8求出x，y，z的值．
解：由已知条件和质数，奇偶数性质知：（z+8）为奇数，
所以x和（x+y）为奇数，于是y为偶数，又y为质数，故y=2．
则x，z应满足x（x+2）=z+8，即z=x2+2x-8=（x-2）（x+4）．
由于z是奇质数，所以必有x-2=1，x+4=z，即x=3，z=7．
故y（x+z）=2（3+7）=20．
评注：奇偶分析法在解不定方程方面的应用也推广，大家仔细体会．
例4 能否把1，1，2，2，…，30，30这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个30之间夹着三十个数？试说明理由．
分析：我们知道30对数共60个，我们可将之分成奇，偶两类数加以讨论，以便求解．
解：假设能按要求排成一行，于是60个数被安排在60个位置上，为了方便起见，给他们所在的位置依次编上号，具体研究一个个对象较为困难，不妨把所有数分成奇数、偶数两大类进行．
（1）先考察偶数，设一个偶数m，两个m之间有m个数，这说明若有一个m在奇数位置，则另一个m必在偶数位置，反之亦然．于是15对偶数分别占据了15个奇数位，15个偶数位；
（2）再研究一个奇数n，两个奇数n之间夹着n个数．只要一个n占据