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三次函数性质总结
三次函数性质的探索
我们已经学****了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？
利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．
其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在[m，n]上恒成立的充要条件


接着，我们同样学****了二次函数，图象大致如下：
　　 图1                            图2
利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，
对称轴上取得最小值；
当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，
对称轴上取得最大值．
在某一区间取得最大值与最小值．
其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．
总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？
三次函数专题
一、定义：
定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。特别是文科。
图
象
x1
x2
x
x0
x
x1
x2
x
x0
x
2．极值点的个数：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。
（1）若，此时函数无极值；三次函数在上不存在极值点。
（2）若，三次函数在上的极值点要么有两个。
且两根为且，
此时函数在处取极大值，简言之：波峰是为极大值
在处取极小值，简言之：波谷是为极小值
论证如下：
令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。
①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x
1、x2，
则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；
②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，
此时y=f（x）没有极值点；

x
(-∞,x0)
x0
（x0，+∞)
f/（x）
+
0
+
f(x)
↗

↖
③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。
：函数当且仅当时是奇函数。
4．对称性：函数图象关于点中心对称（了解）
证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即
+，
整理得，
据多项式恒等对应系数相等,可得
且=，
从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；

证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以
化简得：
上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
实际上：其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
由上又可得以下结论：
是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
证明 的图象关于对称，则

图象关于直线对称.
若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明 图象关于直线对称，则，
，
， 图象关于点对称.
这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
系列探究3：三次函数f（x）图象的切线条数
由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；
而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。