概率与数理统计课件第4章数学期望.ppt

第四章
第一节数学期望
在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的全部概率特征也就知道了.
然而,在实际问题中,概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了.
其中最常用的是
期望和方差
若统计100天,
例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢?
32天没有出废品;
30天每天出一件废品;
17天每天出两件废品;
21天每天出三件废品;
可以得到这100天中
每天的平均废品数为
这个数能否作为
X的平均值呢?
一、离散型随机变量的数学期望
可以想象,若另外统计100天,车工小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,.
n0天没有出废品;
n1天每天出一件废品;
n2天每天出两件废品;
n3天每天出三件废品.
可以得到n天中每天的平均废品数为
(假定小张每天至多出三件废品)
一般来说,若统计n天,
这是
以频率为权的加权平均
由频率和概率的关系
不难想到,在求废品数X
的平均值时,用概率代替
频率,得平均值为
这是
以概率为权的加权平均
这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X的平均值.
定义1 设X是离散型随机变量,它的概率分布是: P{X=xk}=pk , k=1,2,…
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.
如果
收敛,定义X的数学期望
数学期望的统计意义
请看演示
要了解数学期望的统计意义,
例2
有4只盒子,编号为1,2,3,,. 求E(X).
解
X所有可能取值是1,2,3,4.
P{X=1}=1-
{X=1}表示1号盒中至少有1个球,它的对立事件
表示:一号盒中没有球,
其概率为
{X=2}:1号盒中没有球,2号盒中至少有1个球
=
P{X=2}=
同样有
P{X=3}=
最后
P{X=4}=1-P{X=1}-P{X=2}-P{X=3}
=
于是
两点分布 X ∼ B(1,p), 0<p<1
P{X=1}=p, P{X=0}=1-p
 E(X)=1p+0(1-p)=p
常见离散型随机变量的数学期望
二项分布 X ∼ B(n,p), 其中0<p<1
书中有推导(繁),另一简单证明见期望的性质后面例题