报童问题 - 报童问题.doc

1 关于报童问题的分析摘要本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用蒙特卡洛( MC) 算法、插值拟合等基本模型,运用概率论与数理统计的背景知识,得出每天报纸需求量的概率分布,建立报童收益模型,以达到报童最大收益为目的,使报童每天的进货量与需求量尽可能地吻合,以使损失最少,收益最大。在问题一中,首先对题目中给出的报童 159 天的报纸需求量进行概率分布计算,得出报纸需求量的概率分布)(rf ,...2,1,0?r ,代入建立好的报童收益模型中求出平均收益的最大值 7358 .33 )(?n MaxG ,n rrf?)( ,200 ?n 。在问题二中,即将第一问中的概率分布)(rf 转化为概率密度)(rp ,在Matla b 工具箱子 CFtool 中计算得出此时概率密度为正态分布,将问题一模型中的求和转化为积分,通过对目标求导等手段分析得出每天的报纸进货量 n 。其中)98 .54 ) (()( ??? xerp ,?)(nG (),?n 关键词随即贮存,概率分布,概率密度,平均收益 2 1、问题重述 1. 1问题背景在实际生产生活过程中,经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物,例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量,则会给报童带来缺货损失,失去一部分潜在客户,一部分报纸失销(为简化计算,在本模型中我们忽略缺货损失) ;如果报纸的销售量大于需求量,则会导致一部分报纸被退回报社,给报童造成一部分退货损失,减少盈利。所以在实际考虑中,应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量,减少报童的损失,获得更大的盈利。 1. 2报童获利途径报童以每份 元的价格买进报纸,以 元的价格出售。当天销售不出去的报纸将以每份 元的价格退还报社。根据长期统计,假设已经得到了 159 天报纸需求量的情况。对现有数据分析,得出报童每天最佳买进报纸量,使报童的平均总收入最大。 1. 3问题提出现在需用数学建模解决以下问题: 问题 1:若将据报纸需求量看作离散型分布,试根据给出统计数据,求出报纸需求量的分布律,并建立数学模型,确定报童每天买进报纸的数量,使报童的平均总收入最大? 问题 2:若将据报纸需求量看作连续型分布,试根据给出的统计数据,进行分布假设检验,确定该报纸需求量的分布,并建立数学模型,确定报童每天买进报纸的数量,使报童的平均总收入最大? 2、模型假设(1)假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这 159 天的规律(2)假设不考虑缺货损失(3)假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用(4)假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量 3、符号说明 r 报纸需求量)(rf 报纸需求量概率分布(离散型) )(rp 报纸需求量概率密度(连续性) )(nG 报童每天购进 n份报纸的平均收入 3 )(ng 报童一天的利润收入 n 报童每天买进报纸量 1pnr?时的概率 2pnr?时的概率 4、问题分析单周期随机贮存在实际生产生活中经常遇到,单周期即只订一次(缺时也不订) ,期后可处理余货;随机因素是需求和拖后时间,统计规律为历史资料。报童问题模型的提出及最优解决方案可以为类似问题提供借鉴之处。 ,根据给出的数据求报纸需求量的分布律。当数据是离散型的时候我们可以直接计算得出报纸需求量的分布律。根据计算出的分布律代入到建立的模型中,经求导等步骤后得出报童每天买进报纸数量及最大平均总收入。 。因统计数据为历史资料,因而只能得出历史条件下的概率密度。在问题一的模型基础上我们需将题目中给出的数据进行统计分析,数据拟合得出概率密度)(rp ,将求和转化为积分,同样利用求导等手段求出最优解。 5、模型的建立与求解 5. 1问题一的模型建立与求解 )(rf 因该组数据为离散型分布: 159 天报纸需求量情况需求量r 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 天数 39 13 22 32 35 20 1582 表1 所以: 4 n rrf?)( ○ 1 计算结果如下表: 报纸需求量概率分布表 r 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 )(rf 表2 (1) 当天若需求量 r 小于供应量 n 时,售出 r 份,退回)(rn?份,报童收入为) )(()(rnr????元; (2) 当天若需求量 r 大于供应量 n 时,售出