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无穷级数的重排
River Oich
1
众所周知,条件收敛级数各项的先后次序重新排列后,级数的和及收敛性都可能改变。
简单地说:条件收敛级数不满足交换律。
本课件利用数学软件Maple来求交错调和级数经过重排后的一些级数的和。
2
先来看级数
绝对收敛与条件收敛
的区别
3
绝对收敛与条件收敛有何区别?
定理 9
绝对收敛级数可以任意重排,其和不变。
(绝对收敛级数的交换律)
绝对收敛级数的收敛是绝对的(Absolutely),它的收敛性及其和都不会因为改变级数各项的位置而产生任何变化。
4
条件收敛级数不满足交换律
条件收敛级数的收敛性及其和都与级数中各项的位置有关。
因此条件收敛级数的收敛性及其和是有条件的(conditionally):
不能打乱原级数的各项之间的先后次序,否则可能会改变级数的和,甚至改变其收敛性。
当然,只改变有限项的位置,不会对级数造成任何变化。
5
例如
是条件收敛级数
在以上顺序下(一正一负),级数收敛,和为 ln2。
现在,我们按照“一正二负”重新排列各项的顺序,得一新的级数:
6
收敛级数可以加括号
还是那些数相加,但结果减少一半!
级数性质
7
数学家黎曼证明了一个更令人吃惊的结论:
条件收敛级数的各项重排后,级数可以收敛于任何一个实数,也可以使其发散!
黎曼 Riemann
德国数学家
1826-1866
8
交错调和级数的重排
级数的计算由数学软件Maple完成
9
实验表明:若将交错调和级数
负项(正项)提前,就可以使级数的和减小(增大)。
10

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  • 时间2014-09-28
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