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【精品】PPT课件第一节无穷级数的概念和性质.ppt

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第一节无穷级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
二、级数的基本性质
一、无穷级数的概念
对于数列u1,u2, ··· , un, ···,用“+”号将其连接起来,得
u1+u2+···+un+···,
,简称级数,称其第n项un为通项或一般项.
无穷多项相加意味着什么?怎样进行这种“相加”运算?“相加”的结果是什么?
称
.
由此可由无穷级数,得到一个部分和数列
若存在,则称级数收敛,并称此极限值S为级数的和,,则称级数发散.
若收敛,则称
为级数的余项.
若中每项皆为数,则称为数项级数.
若,则称为正项级数.
例1 试判定级数的收敛性.
解所给级数的前n项和
因此所给级数发散.
例2 判定级数的收敛性.
解此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1,则所给几何级数转化为例1,,所给级数前n项和
当|r|<1时, ,因而,即级数收敛,且其和为.
当|r|>1时, ,因而不存在,即级数发散.
当r= –1时, 其前n项和
.
综合上述,可知
例3 判定级数的收敛性.
解所给级数的前n项和
可知
故所给级数收敛,且和为1.
二、级数的基本性质
性质1 (1) 若级数收敛,其和为S,又设k为常数,则也收敛,且和为kS.
(2)若发散,且k≠0,则必定发散.
证(1)设,由于收敛,
因此应有.
由极限的性质可知
即收敛,且其和为kS.
故发散.
(2)
设收敛,则由(ⅰ)知
亦收敛,矛盾.

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