定积分计算.doc

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第三章 一元积分学
第二节 定积分计算及其他
一：定积分计算。
定积分与不定积分有密切联系（牛顿－莱布尼兹定理揭示了其联系）。但两者是两个完全不同的概念，有着很大的区别，从最后结果上看前者
于是得 ，又，故
例5．
（1）设连续，，且则。
（2）已知有二阶连续导数，且，则。
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（3）已知，则。
解：（1）令，则
下面解法错在哪里？
（2）
而所以
（3）令则
，其中
由
或
注：方法一符合我们前面提到的思路：把复杂的因式设为一个变量。方法二也是常见的：当被积函数只是指数函数的函数时，总可以凑成，然后用换元等方法去解。
练****题:
１．求下列不定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8）
（答案：（1）（小心：很容易出现错误答案），（2）50，（3），（4），
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（5），（6），（7），（8）)
２．求下列不定积分：
（1） （2）及 （3）
（4） （5） （6）
（答案：（1）（用对称性中的推论1），（2）（用对称性中的推论1）
（３）（可用对称性中的命题２；或换元，然后由奇偶性），
（４）（方法与(1)类似, (5)(用裂项相消法),(6)）
3．（1）求
（2）设满足求。
（答案：（1），（2））
４．设在上连续，且满足，证明：
　　　
５．设，试建立的推递式．
（）
６．设，试建立的推递式．
（）
７．设，求．
（先建立的推递式）
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,且满足,则在上的平均值为．
（，则，两边积分可得结果）
二：变限积分函数
变限积分函数也是函数，那么上一章中用导数讨论函数的方法和问题对变限积分函数同样适用，同样也存在求导、求极限、单调性、极值、最值、介值问题、泰勒展开等一系列问题，与微分方程问题也有联系．又由于变限积分函数是通过积分表达的，因此又有积分学的特点．我们首先熟悉两点：
（１）若在上可积，则函数在上连续；若在上
连续，则函数在上可导，且．
　（２）变限积分函数的求导公式：设连续，连续可导，则
，，，．
例６．（１）设连续，，则．
（２）．
（３）设，则．
（４）设，则．
（５）设满足，且可导，则时，．
解：（1）换元，那么
从而，
注：遇到积分变限函数问题时，要分清积分变量和函数变量。对于函数的求导问题，被积函数中还有函数变量，我们一般先换元变成如下形式：
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或
再求导。
（2）用洛比达法则计算（涉及积分变限函数的未定式的极限，往往用洛比达法则）
（3）令，则，从而
故
（4）两边求导得微分方程 ，并且，解此微分方程得
注：注意（3），（4）的区别，（3）其实与积分变限函数没关系，题设中出现的积分是一个常值。（4）中出现的积分是一个函数，是一个积分方程问题，我们总是通过对
方程两边求导以达到消掉积分的目的（必要时要对方程变形以方便求导），从而得到一个微分方程，另外还需从原方程中找出初始条件，再解微分方程．
（５）令，则，
故，变形得　
，两边求导得
，从而得
注：本题可进一步求出，但求不出特解．
例７．设，求
分析：时，，而由于被积函数在处不连续，不能套用前面的公式去求导．因此只能用导数定义去求．
解：
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从而
例８．设在上连续，且对，证明：
分析：若令，则有，则，由此再想办法证得结论。
证明：令，则有，令
依题设有
从而对，，又由题意可知
所以对，，即
两边求导得
练****题:
9．（１）设，则．（答案：）
（２）设有一阶连续导数，时，的导数与为等价无穷小，则．（答案：）
（３）的最小值点为．（答案：）
（４）设连续，且，，则．
（答案：）
（５）时，是关于的阶无穷小；是关于的阶无穷小．（答案：）
（６）设连续，，则．（答案：）
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１０．设，(i)证明为周期函数；(ii)求的最大值和最小值．
(答案:)
１１．设连续，，且， 时与为等价无穷小，求．（答案：）
１２．设连续，单调减少，证明：
三：积分等式的证明