§8.9带椭圆孔无限大薄板受均匀拉伸.doc

§ 带椭圆孔无限大薄板受均匀拉伸
学****思路：
    为了进一步说明无限大板的孔口问题的求解，本节以椭圆孔口问题为例作详细的讨论。
主要工作和推导过程为：首先建立椭圆孔的保角变换公式；根据椭圆孔保角变换公式确定和y0(x)；然后§ 带椭圆孔无限大薄板受均匀拉伸
学****思路：
    为了进一步说明无限大板的孔口问题的求解，本节以椭圆孔口问题为例作详细的讨论。
主要工作和推导过程为：首先建立椭圆孔的保角变换公式；根据椭圆孔保角变换公式确定和y0(x)；然后分别确定和y(x)。最后计算孔口应力，分析孔口应力集中。
学****要点：
    1. 椭圆孔口的保角变换；
    2. 确定和y0(x)的求解公式；
    3. 确定保角变换的和y(x)函数；
    4. 确定K-M函数表达式 ；
    5. 孔口应力与应力集中；
为了进一步说明无限大板孔口问题的求解，本节以椭圆孔口问题为例，作详细的讨论。
    将平面上的椭圆孔的外部区域变换到x 平面的单位圆区域内的保角变换公式为 
    对于无限大板孔口问题，R和m均为实常数，而且R＞0，0≤m≤1。上式也可以写作
所以                    
从上式中消去j，可得  。
从上式中消去r，可得  。
根据上述分析，x 平面上的圆周r =const对应于z平面上的中心椭圆，椭圆的长短半轴分别为如图所示。
x 平面上的径向线j =const 对应于z平面上的中心双曲线。这一族椭圆和一族双曲线就是z平面上的曲线坐标。特别应该指出的是，x 平面上的圆周r =1的圆周所对应的z平面上的椭圆。
    设内边界（椭圆孔）的方程为。由于保角变换是将椭圆孔口以外区域映射于x 平面的单位圆以内区域，令公式中，r =1（x 平面的单位圆），与椭圆方程比较可得
根据保角变换公式，可以得到
    将上述结果代入公式的第一式，则
    将代入上式，可以得到
    由于 在单位圆g 以外是解析的，在单位圆g 的边界上是连续的，所以其柯西积分为零。因此
将公式代入公式的第二式，则
    由于 在单位圆g 以内是解析的，在单位圆g 的边界上是连续的，所以
对于单向拉伸的椭圆孔口板，如图所示。
s 1=p，s 2=0，Fxk= Fyk =0，Fx= Fy =0，则
    将上述结果代入公式，利用柯西积分关系式，则
    将上式求导后代入公式，并且利用柯西积分关系式，则
    整理并且将上述结果代入公式，则
以下计算应力分量，由于
    因为     , 所以 。  
    根据公式，有
    因此,根据公式 ,可以求得
   
将上述计算结果代入公式，简化可以得到应力分量的曲线坐标表达式
    如果将x =r（cosj  +isinj）代入上述二式，分离实部和虚部，则可以求出应力分量sr，sj 和 trj 。但是这个工作太复杂了，由于孔口应力是薄板最为重要的应力。如果仅考虑孔口应力，可以避开上述冗长的推导过程。
    由于在孔口边界上,x =eij ,sr=trj 。所以
    当拉力p平行于x轴，此时a =0，由上式可得孔口应力为。
最大应力为   ；
最小应力为                                                 。
    当拉力p垂直于x轴，此时a =p/2，孔口应力为
最大应力为                   
最小应力为                   
    假如a=b，即讨论问题为圆孔。则。
§ 裂纹前缘的应力分布
学****思路：
    本节应用椭圆孔口分析结果探讨裂纹应力分布。注意到裂纹是短轴为零的椭圆，因此可以应用椭圆孔口结论。这里的问题是裂纹前缘局部前缘应力不能采用曲线坐标描述，需要将问题重新转换到z平面。即将x 平面的结论映射回z平面。并且以裂纹尖端为新的极坐标原点建立坐标系分析裂纹应力。
    在上述裂纹前缘应力计算公式中，如果命r 趋近于零，则各个应力分量的数值将趋于无限大。这就表示，在裂纹前缘，应力是无限大的。实际上，由于裂纹前缘总是有或大或小的塑性区，因此就不会发生无限大的应力，上述公式仅适用于弹性范围的应力分析。尽管如此，但对于脆性材料，塑性范围很小的情况，公式可以令人满意的描述裂纹前缘的应力状态。因此，以上公式成为断裂力学的基本公式。
学****要点：
    1. 裂纹—短轴为零的椭圆；
    2. 将x 平面确定的K-M 函