8.9带椭圆孔无限大薄板受均匀拉伸.docx

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学****思路:
为了进一步说明无限大板的孔口问题的求解,本节以椭圆孔口问题为例作详细的讨论。
主要工作和推导过程为:首先建立椭圆孔的保角变换公式;根据椭圆孔保角变换公式确定卩如②和屮0(©;然后分别确定%(◎和屮(©。最后计算孔口应力,分析孔口应力集中。
学****要点:
椭圆孔口的保角变换;
确定卩如(刃和屮o(g)的求解公式;
确定保角变换的卩£©和屮(©函数;
确定K-M函数表达式;
孔口应力与应力集中;
为了进一步说明无限大板孔口问题的求解,本节以椭圆孔口问题为例,作详细的讨论。
将平面上的椭圆孔的外部区域变换到g平面的单位圆区域内的保角变换公式为
对于无限大板孔口问题,R和m均为实常数,而且R>O,OWmWl。上式也可以写作
所以
从上式中消去卩可得
从上式中消去p,可得
根据上述分析,g平面上的圆周p=const对应于z平面上的中心椭圆,椭圆的长短半轴分别为
如图所示。
g平面上的径向线申=const对应于z平面上的中心双曲线。这一族椭圆和一族双曲线就是z平面上的曲线坐标。特别应该指出的是,g平面上的圆周P=1的圆周所对应的z平面上的椭圆。
44=1
设内边界(椭圆孔)的方程为。由于保角变换是将椭圆孔口以外区域映射于g平面
的单位圆以内区域,令公式
方程比较可得
中,p=1(g平面的单位圆),与椭圆
a=/?(1+m),
=一+b),

b=RQ.-m)
a-b
m=
a-\-b
e二少(◎二尺(g+朋。
根据保角变换公式,可以得到
£W(CF)=R(一+mcr)?少'(b)二丘(磴—右),flj(cr)_1me2+1
£yF(cr)o'(y2-m

fl?(cr)=Z?(cr+—)?
E(cr)二R(m-cr2)?
fl?(b)_cr2+//JfljF(cr)mcr2-1
诃珀(◎+厂J
将上述结果代入公式的第一式2m

鱼回竺db二丄「皿①砧
b—f少(b)27ri」Fcr_f,则
例(/(◎二土也晳t
将e代入上式,可以得到
由于
在单位圆丫以外是解析的,在单位圆Y的边界上是连续的,
所以其柯西积分为零。因此
£y(cr)=7?(—+mcr)f
E(b)二R(m_右),
1me2+1
血9)二将公式少(”)
£w(cr)=7?(cr+—)?
二R(m-cr2)f
Qj(cr)_CT2
少(b)ma2-1代入公式的第二式
则
在单位圆丫以内是解析的,在单位
由于
圆丫的边界上是连续的,所以
对于单向拉伸的椭圆孔口板,如图所示。
q=p,q=0,Fk=Fk=0,F=F=0,则
12xyxy
诃珀(◎二1
将上述结果代入公式
,利用柯西积分关系式,则
将上式求导后代入公式
系式,则
,并且利用柯西积分关
壮(◎二-*尺[(1_枷皿)£+(朋_疋鬥二:;2£]
厲(◎二-吕^(巧+迟)lng+E少(◎+%(①
整理并且将上述结果代入公式叽沪沖—迟)耐0©如皿),则
阿(◎二-葺3+迟)Sf+E邂)+㈱©)二扌网£+(2严-朋忙]讥。=^迅-迟)kf+(B'+iC')a©+S(f)=-*P^£eM+疋严+?;[;护-1)勺
以下计算应力分量,由于
丐二4R詡(①
f八2叽二斋^[菊0(0+讥卵仔)]
因为
,所以
根据公式
级f©)二-g(Z+迟)5$+£*)+%(◎二扌网*+(2严-用)贞]
#©=订迅-迟)血严3'+山')0©+乩©=-扌』凤*皿+尸严+[;[;新~[)勺
有
(①=跖0)=爾i⑷(◎]卩(◎二幻0)二昭[少(0]
陀(胡⑵二
因此,根据公式
d艸](z)_创©血_打(①
,可以求得
严严+(用云込-m2
(m^2-l)3
弓=4Re^(^)
丐5+21%二丽叫+讥卵⑩)]
将上述计算结果代入公式Q少(灯,简化可以得到应力
分量的曲线坐标表达式
如果将g二p(cos申口+isin申)代入上述二式,分离实部和虚部,则可以求出应力分量%f和%。但是这个工作太复杂了,由于孔口应力是薄板最为重要的应力。如果仅考虑孔口应力,可以避开上述冗长的推导过程。
由于在孔口边界上,g二e®,Qp=Tpq。所以
_r[2(cos2ff+isin2ct)-m](cos2^+isin2^>)-1
m(cos2^?+isin2诃)-1
1-m2+2mcosla-2cos2(a+<p)
_1-m2+2m-2cos2^
当拉力p平行于x轴,此时a=0,由上式可得孔口应力为'
23_二
.3+2m-m3-m住+b
仏二牛冷盲乔站片十二
最大应力为
a^-b
最小应力为
当拉力p垂直于x轴,此时a二兀/2,孔口应力为
最大应力为
最小应力为
假如a=b,
即讨论问题为圆孔。则”町
§
学****思路:
本节应用椭圆孔口分析结果探讨裂纹应力分布。注意到裂纹是短轴为零的椭圆,因此可以应用椭圆孔口结论。这里的问题是裂纹前缘局部前缘应力不能采用曲线坐标描述,需要将问题重新转换到z平面。即将g平面的结论映射回z平面。并且以裂纹尖端为新的极坐标原点建立坐标系分析裂纹应力。
在上述裂纹前缘应力计算公式中,如果命P趋近于零,则各个应力分量的数值将趋于无限大。这就表示,在裂纹前缘,应力是无限大的。实际上,由于裂纹前缘总是有或大或小的塑性区,因此就不会发生无限大的应力,上述公式仅适用于弹性范围的应力分析。尽管如此,但对于脆性材料,塑性范围很小的情况,公式可以令人满意的描述裂纹前缘的应力状态。因此,以上公式成为断裂力学的基本公式。
学****要点:
裂纹—短轴为零的椭圆;
将g平面确定的K-M函数转换到z平面;
裂纹前缘应力分布;
切应力作用的裂纹前缘应力;
对于椭圆孔口问题,如果短半轴b=0,则椭圆孔退还为一条长为2a的裂纹,如图所示。