圆锥曲线解题技巧.doc

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧 1. 圆锥曲线的两个定义: (1) 第一定义中要重视“括号”内的限制条件: 椭圆中, 与两个定点 F1 ,F2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要大于 21FF ,当常数等于 21FF 时,轨迹是线段 F1 F2 , 当常数小于 21FF 时, 无轨迹; 双曲线中, 与两定点 F1 ,F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a , 且此常数 2a 一定要小于|F1 F2 |, 定义中的“绝对值”与2a < |F1 F2 | 不可忽视。若 2a =|F1 F2 | ,则轨迹是以 F1 ,F2 为端点的两条射线,若 2a ﹥|F1 F2 | ,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程 2 2 2 2 ( 6) ( 6) 8 x y x y ? ?????表示的曲线是_____ (答:双曲线的左支) (2) 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”, 其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义, 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线 4 2xy?上一动点 P(x ,y),则 y+|PQ| 的最小值是_____ (答2) 2. 圆锥曲线的标准方程( 标准方程是指中心( 顶点) 在原点, 坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1) 椭圆: 焦点在 x 轴上时 1 2 22 2??b ya x (0 a b ? ?), 焦点在 y 轴上时 2 22 2b xa y?= 1(0 a b ? ?)。方程 2 2 Ax By C ? ?表示椭圆的充要条件是什么? ( ABC ≠0,且A,B, C 同号, A≠B)。如( 1) 已知方程 123 22????k yk x 表示椭圆,则 k 的取值范围为____ (答: 1 1 ( 3, ) ( , 2) 2 2 ? ? ??); (2)若Ryx?, ,且623 22??yx ,则yx?的最大值是____ ,22yx?的最小值是___ (答: 5, 2 ) (2) 双曲线: 焦点在 x 轴上: 2 22 2b ya x?=1 ,焦点在 y 轴上: 2 22 2b xa y?=1( 0, 0 a b ? ?)。方程 2 2 Ax By C ? ?表示双曲线的充要条件是什么? ( ABC ≠0 ,且 A,B 异号)。如设中心在坐标原点 O , 焦点 1F 、2F 在坐标轴上, 离心率 2?e 的双曲线 C 过点) 10 ,4(?P ,则 C 的方程为_______ (答: 2 2 6 x y ? ?) (3) 抛物线:开口向右时 2 2 ( 0) y px p ? ?,开口向左时 2 2 ( 0) y px p ?? ?,开口向上时 2 2 ( 0) x py p ? ?,开口向下时 2 2 ( 0) x py p ?? ?。如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2 上移动, AB 中点为 M, 求点 M到x 轴的最短距离。 4 5 3. 圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1) 椭圆:由 x 2 ,y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 121 22????m ym x 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是__(答: )2 3,1()1,(????) (2) 双曲线:由x 2 ,y 2 项系数的正负决定, 焦点在系数为正的坐标轴上; (3) 抛物线: 焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1) 在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F1 ,F2 的位置, 是椭圆、双曲线的定位条件, 它决定椭圆、双曲线标准方程的类型, 而方程中的两个参数, a b , 确定椭圆、双曲线的形状和大小, 是椭圆、双曲线的定形条件; 在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2) 在椭圆中, a 最大, 2 2 2 a b c ? ?,在双曲线中,c 最大, 2 2 2 c a b ? ?。 4. 圆锥曲线的几何性质: (1) 椭圆(以1 2 22 2??b ya x (0 a b ? ?)为例):①范围:, a x a b y b ? ?????; ②焦点: 两个焦点( , 0) c?;③对称性: 两条对称轴 0, 0 x y ? ?,一个对称中心(