圆锥曲线解题技巧.pdf

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:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数2a,
12
且此常数2a一定要大于FF,当常数等于FF时,轨迹是线段FF,当常数小于FF时,无轨迹;
12121212
双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|FF|,定义中
1212
的“绝对值”与2a<|FF|不可忽视。若2a=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若2a
121212
﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
12
如(1)已知定点F(3,0),F(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
12
PFPFPFPF212(答:
12121212
C);
(2)方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其
商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离的间关
系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
x2
如已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)
4
(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
x2y2xacos
(1)椭圆:焦点在x轴上时1(ab0)(参数方程,其中为参数),
a2b2ybsin
y2x2
焦点在y轴上时=1(ab0)。方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,
a2b2
且A,B,C同号,A≠B)。
x2y211
如(1)已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为____(答:(3,)U(,2));
3k2k22
(2)若x,yR,且3x22y26,则xy的最大值是____,x2y2的最小值是___(答:5,2)
x2y2y2x2
(2)双曲线:焦点在x轴上:=1,焦点在y轴上:=1(a0,b0)。方程
a2b2a2b2
Ax2By2C表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。
5x2y2
如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆1有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:
294
x2
y21);
4
(2)设中心在坐标原点O,焦点F、F在坐标轴上,离心率e2的双曲线C过点P(4,10),
12
则C的方程为_______(答:x2y26)
(3)抛物线:开口向右时y22px(p0),开口向左时y22px(p0),开口向上时
x22py(p0),开口向下时x22py(p0)。
(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由x2,y2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
x2y2
如已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:
m12m
3
(,1)(1,))
2
(2)双曲线:由x2,y2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、
12
双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线
的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭
圆中,a最大,a2b2c2,在双曲线中,c最大,c2a2b2。
:
x2y2
(1)椭圆(以1(ab0)为例):①范围:axa,byb;②焦点:两个
a2b2
焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),四个顶点(a,0),(0,b),其
a2c
中长轴长为2a,短轴长为2b;④准线:两条准线x;⑤离心率:e,椭圆0e1,e
ca
越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。
x2y21025
如(1)若椭圆1的离心率e,则m的值是__(答:3或);
5m53
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__
(答:22)
x2y2
(2)双曲线(以1(a0,b0)为例):①范围:xa或xa,yR;②焦点:两
a2b2
个焦点(c,0);③对称性:两条对称轴x0,y0,一个对称中心(0,0),两个顶点(a,0),其中实轴
长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为
a2c
x2y2k,k0;④准线:两条准线x;⑤离心率:e,双曲线e1,等轴双曲线
ca
b
e2,e越小,开口越小,e越大,开口越大;⑥两条渐近线:yx。
a
1313
如(1)双曲线的渐近线方程是3x2y0,则该双曲线的离心率等于______(答:或);
23
1
(2)双曲线ax2by21的离心率为5,则a:b=(答:4或);
4
p
(3)抛物线(以y22px(p0)为例):①范围:x0,yR;②焦点:一个焦点(,0),其中p
2
的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴y0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
pc
④准线:一条准线x;⑤离心率:e,抛物线e1。
2a
1
如设a0,aR,则抛物线y4ax2的焦点坐标为________(答:(0,));
16a
x2y2x2y2
5、点P(x,y)和椭圆1(ab0)的关系:(1)点P(x,y)在椭圆外001;
00a2b200a2b2
x2y2x2y2
(2)点P(x,y)在椭圆上00=1;(3)点P(x,y)在椭圆内001
00a2b200a2b2
:
(1)相交:0直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定
有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0是直线与双曲
线相交的充分条件,但不是必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,
当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交
的充分条件,但不是必要条件。
如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:
15
(-,-1));
3
x2y2
(2)直线y―kx―1=0与椭圆1恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪
5m
(5,+∞));
x2y2
(3)过双曲线1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____
12
条(答:3);
(2)相切:0直线与椭圆相切;0直线与双曲线相切;0直线与抛物线相切;
(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0直线与抛物线相离。
特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果
直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与
x2y2
抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线=1外一点P(x,y)的直线与双曲线只有一个公共
a2b200
点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与
双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近
线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一
条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有
三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);(2)
x2y2
过点(0,2)与双曲线1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答:
916
445
,);
33
y2
(3)过双曲线x21的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若AB4,则满足条件的直线l
2
有____条(答:3);
(4)对于抛物线C:y24x,我们称满足y24x的点M(x,y)在抛物线的内部,若点M(x,y)
000000
在抛物线的内部,则直线l:yy2(xx)与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);
00
(5)过抛物线y24x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的分别是长p、q,
11
则_______(答:1);
pq
813
(6)求椭圆7x24y228上的点到直线3x2y160的最短距离(答:);
13
(7)直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B两点。①当a为何值时,A、B分别在双曲线的两
支上?②当a为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①3,3;②a1);
7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相
应准线的距离,即焦半径red,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。
x2y2
如(1)已知椭圆1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:
2516
35
);
3
(2)已知抛物线方程为y28x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离
等于____;
(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_____(答:7,(2,4));
x2y2
(4)点P在椭圆1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为
259
25
_______(答:);
12
(5)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离为______
(答:2);
x2y2
(6)椭圆1内有一点P(1,1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使MP2MF之值最
43
26
小,则点M的坐标为_______(答:(,1));
3
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、
余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x,y)到两焦点F,F的距离分别为r,r,焦点FPF的面
00121212
x2y22b2
积为S,则在椭圆1中,①=arccos(1),且当rr即P为短轴端点时,最大为
a2b2rr12
12
b2c2
=arccos;②Sb2tanc|y|,当|y|b即P为短轴端点时,S的最大值为bc;
maxa2200max
x2y22b21
对于双曲线1的焦点三角形有:①arccos1;②Srrsinb2cot。
a2b2rr2122
12
2
如(1)短轴长为5,离心率e的椭圆的两焦点为F、F,过F作直线交椭圆于A、B两点,则ABF
31212
的周长为________(答:6);
(2)设P是等轴双曲线x2y2a2(a0)右支上一点,F、F是左右焦点,若PFFF0,|PF|=6,
122121
则该双曲线的方程为(答:x2y24);
x2y2→→
(3)椭圆1的焦点为F、F,点P为椭圆上的动点,当PF·PF<0时,点P的横坐标的
941221
3535
取值范围是(答:(,));
55
6
(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F、F是它的左右焦点,若过F的直线与双曲线的左支
2121
交于A、B两点,且AB是AF与BF等差中项,则AB=__________(答:82);
22
(5)已知双曲线的离心率为2,F、F是左右焦点,P为双曲线上一点,且FPF60,
1212
x2y2
S(答:1);
PFF
12412
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)
设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影
分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反
1111
之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
10、弦长公式:若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x,x分别为A、B的横坐标,则AB
12
1
=1k2xx,若y,y分别为A、B的纵坐标,则AB=1yy,若弦AB所在直线方
1212k212
程设为xkyb,则AB=1k2yy。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,
12
一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
如(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x,y),B(x,y)两点,若x+x=6,那么|AB|
112212
等于_______(答:8);
(2)过抛物线y22x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC
重心的横坐标为_______(答:3);
x2y2
11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆1
a2b2
b2xx2y2
中,以P(x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=-0;在双曲线1中,以P(x,y)为中点的
00a2ya2b200
0
b2x
弦所在直线的斜率k=0;在抛物线y22px(p0)中,以P(x,y)为中点的弦所在直线的斜率
a2y00
0
p
k=。
y
0
x2y2
如(1)如果椭圆1弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:
369
x2y80);
x2y2
(2)已知直线y=-x+1与椭圆1(ab0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直
a2b2
2
线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答:);
2
x2y2
(3)试确定m的取值范围,使得椭圆1上有不同的两点关于直线y4xm对称(答:
43
213213
,);
1313
特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,
务必别忘了检验0!
?
x2y2x2y2
(1)双曲线1的渐近线方程为0;
a2b2a2b2
bx2y2x2y2
(2)以yx为渐近线(即与双曲线1共渐近线)的双曲线方程为(为参数,
aa2b2a2b2
≠0)。
x2y24x2y2
如与双曲线1有共同的渐近线,且过点(3,23)的双曲线方程为_______(答:1)
91694
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2ny21;
2b2
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)
a
b2
为,抛物线的通径为2p,焦准距为p;
c
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB,A(x,y),B(x,y),则①|AB|xxp;
112212
p2
②xx,yyp2
12412
(7)若OA、OB是过抛物线y22px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)
:
(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0;
如已知动点P到定点F(1,0)和直线x3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:
y212(x4)(3x4)或y24x(0x3));
②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确
定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为
对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:y22x);
③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
如(1)由动点P向圆x2y21作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方
程为(答:x2y24);
(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x50的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______(答:
y216x);
(3)一动圆与两圆⊙M:x2y21和⊙N:x2y28x120都外切,则动圆圆心的轨迹为
(答:双曲线的一支);
④代入转移法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x,y)的变化而变化,并且Q(x,y)又在某已知曲
0000
线上,则可先用x,y的代数式表示x,y,再将x,y代入已知曲线得要求的轨迹方程;
0000
如动点P是抛物线y2x21上任一点,定点为A(0,1),点M分PA所成的比为2,则M的轨迹方程
1
为__________(答:y6x2);
3
⑤参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均
用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
如(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使
|OP||MN|,求点P的轨迹。(答:x2y2a|y|);
(2)若点P(x,y)在圆x2y21上运动,则点Q(xy,xy)的轨迹方程是____(答:
111111
1
y22x1(|x|));
2
(3)过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________
(答:x22y2);
注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式
进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
x2y2
如已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F(-c,0)、
a2b21
F(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|FQ|
211
的交点,点T在线段FQ上,并且满足PTTF0,|TF|0(.1)设x为点P
222
c
的横坐标,证明|FP|ax;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:
1a
在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△FMF的面积S=,求∠FMF的正切值;若不存在,
1212
b2b2
请说明理由.(答:(1)略;(2)x2y2a2;(3)当a时不存在;当a时存在,此时∠FMF
cc12
=2)
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点
对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――
对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分
化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1)给出直线的方向向量u1,k或um,n;
(2)给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;

(3)给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;
(4)给出APAQBPBQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
rr
(5)给出以下情形之一:①AB//AC;②存在实数,使ABAC;③若存在实数
uuuruuuruuur
,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.
OAOB
(6)给出OP,等于已知P是AB的定比分点,为定比,即APPB
1
(7)给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知
AMB是钝角,给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角,

MAMB
(8)给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/
MAMB

(9)在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD是菱形;
uuuruuuruuuruuur
(10)在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是矩形;
222
(11)在ABC中,给出OAOBOC,等于已知O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心,
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12)在ABC中,给出OAOBOC0,等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角
形三条中线的交点);
(13)在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA,等于已知O是ABC的垂心(三角形的
垂心是三角形三条高的交点);uuuruuur
ABAC
(14)在ABC中,给出OPOA(uuuruuur)(R)等于已知AP通过ABC的内心;
|AB||AC|
(15)在ABC中,给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆的
圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
uuur1uuuruuur
(16)在ABC中,给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线;
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