第二型曲线曲面积分的计算方法.docx

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第二型曲线曲面积分的计算方法PB07210153刘羽
第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况，其意义较易理解，计算也相对比较简单。而第二: .
第二型曲线曲面积分的计算方法PB07210153刘羽
第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况，其意义较易理解，计算也相对比较简单。而第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，分别是变力沿曲线做功和向量场过曲面的通量，这在物理学上有重要的应用，与格林定理，斯托克斯定理，高斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点，以下简单介绍第二型曲线曲面积分的常用计算方法。
1•第二型曲线积分计算方法
向量场F=PiQjRk，是曲线L上指向指定方向的单位切向量，则称形式积分丄PdxQdyRdz二lF^dl为第二型曲线积分，右端是F「在L上第一型曲线积分。这里要理解的方向性，dx=t|「dl是有向曲线微元dl在Ox轴方向投影，dx可正可负(与定积分不同)，这正是第二型曲线积分具有方向性的原因。
计算第二型曲线积分的方法主要有定义法，参数法，利用性质以及利用
Green公式和Stokes公式。
1)定义法当已知或易于表达时，可考虑用定义法，一般用得较少。
(2) 参数法
参数法是计算第二型曲线积分最常用的方法，将其转化为定积分，应用时要特别注意上下限的确定(根据所给的方向而不是大小)。
设有向曲线L的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t),其起点对应t=a，终点对应t=b，则lPdxQdyRdz=b
[[P(x(t),yt)zt(対t'()Qx(t(y,t(z)t(y)t'(P)Xt(Wt),ztztdt计算时只要将所有量(包括微分量)用参数变量表示出来即可，不需记忆此式。
例1求曲线积分[ydx+zdy+xdz，其中L是x+y=2与x2y2z2=2(x•y)的交线，从原点看去是逆时针方向。
解：在曲线L满足的方程组中消去y并化简得2(x-1)2z^2，可知L在Ozx
平面上的投影曲线是椭圆2(x-1)2•z2=2，注意到坐标原点在平面x•y=2的
X:的一侧，所以从x轴正方向看曲线是顺时针方向
设z=•..2cost,x=1sint,y=2—'X=1—nt,0<t<2n,且其方向是参数减少
方向，从而
ydxzdyx=dz[(1stn)(cos)t(1sint)((t2sin)]
L2二=f=2dt=2屈
(3) 利用第二型曲线积分的性质，如用分段法，分项法，方向性来简化计算。
(4) 利用Green公式和Stokes公式。
Green公式:
Stokes
屮
QPdxQdy=
公式
s:y
工
Q
要注意两个公式都只对闭合曲线成立，有时当所求曲线部分十分复杂而非闭合部分仅为一条直线或简单曲线时，可采用补线法进行计算，这时要特别注意方向性，最好画图避免错