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第二型曲线曲面积分的计算方法

PB07210153 刘羽
第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相用的方法，将其转化为定积分，应用
时要特别注意上下限的确定（根据所给的方向而不是大小）。
设有向曲线 L 的参数方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t),其起点对应 t=a，终点对
应 t=b，则

 P d x Q dy R d z 
L
 b[P (x (t ) ,y (t ) z, t( )x) t' ( )Q x (t ( y) ,t (z) t, (y ) )t ' (P) x t ( y]( t) , z t z t d t
a
计算时只要将所有量（包括微分量）用参数变量表示出来即可，不需记忆此
式。
例 1 求 曲 线 积 分  ydx  zdy  xdz ， 其 中 L 是 x  y  2 与
L
x 2  y 2  z 2  2(x  y) 的交线，从原点看去是逆时针方向。
解：在曲线 L 满足的方程组中消去 y 并化简得 2( x  1) 2  z 2  2 ，可知 L 在 Ozx
平面上的投影曲线是椭圆 2( x  1) 2  z 2  2 ，注意到坐标原点在平面 x  y  2 的x  的一侧，所以从 x 轴正方向看曲线是顺时针方向。
设 z  2 cos t, x 1sin t, y  2 x 1sin t,0t  2 ，且其方向是参数减少
方向，从而

 y d x z dy xdz0 [ (1 sti n ) tco s 2t c o s t( c os ) t (1 s i nt )d( t 2 s i n ) ]
L 2
  2 2dt  2 2
0
（3）利用第二型曲线积分的性质，如用分段法，分项法，方向性来简化
计算。
（4）利用 Green 公式和 Stokes 公式。
Q P
Green 公式：  Pdx  Qdy   (  )dxdy
L x y
D
Stokes 公 式 ：