考研数学 D6考研基础班.ppt

第六章
定积分的应用
1
(3) 求和,
(4) 求极限,
相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,
小窄曲边梯形的面积为
则
(2)计算
的近似值,
而第i个
(1)把区间[a,b]分成n个长度为
的小区间
得A的近似值,
得A的精确值
回顾:面积表示为定积分的步骤:
a
b
x
y
o
2
a
b
x
y
o
面积元素
对以上过程进行简化:
这种简化以后的定积分方法叫“微元法”或“元素法”
的面积,
则
取
面积元素
记为
则
若用
表示任一小区间
上的窄曲边梯形
3
表示为
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上有定义的f (x) 有关的
2) U 对区间[a , b] 具有可加性,
即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
定积分定义:
一个整体量;
一、定积分的元素法
(元素法)解决?
4
元素的几何形状常取为:
条,带,段,环,扇,片,壳等
第一步,根据具体情况,
选取积分变量,
如:
x.
确定x的变化
区间[a,b].
第二步,把区间[a,b]分成n个小区间,
取一代表区间
求出该区间上所求量的部分量的
称为量U的微元.
第三步,写出定积分的表达式:
近似表达式
先作图
:
这个方法通常叫做元素法.
5
:
(1)
U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.
(2)
U对于区间[a,b]具有可加性,
则U相应地分成许多
即如果把区间
[a,b]分成许多部分区间,
部分量,
而U等于所有部分量之和.
则U在[a,b] 上的值可由定积分
示为
(3) 在[a,b]中任取的小区间
上的部分量
与区间长度
可以通过x的某函数
乘积近似表
来计算.
6
二、定积分在几何学上的应用
1. 直角坐标系下平面图形面积的计算
(1)设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
(2)由曲线
所围图形的面积.
其面积元素为:
则面积为
上曲线
下曲线
7
(3)
为曲边,
以
以[c,d]为底的曲边梯形
(4)由曲线
所围图形的面积.
其面积元素为:
则面积为
右曲线
左曲线
x
o
y
c
d
x
y
o
c
d
y+dy
y
y+dy
y
的面积A.
8
总之
o
x
y
x
x+dx
x+dx
x
在
[a,b]
上有正有负时,
时,
时,
设曲线
及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A ,则
(5)
9
回顾:极坐标系
1) 极坐标系的定义:
在平面上取定一点o,
叫做极点.
从极点出发引一条射线Ox,叫极轴,
并取定一个长度单位
和计算角度的正方向(通常取逆时针方向作正方向),
这样
就建立了一个平面极坐标系.
x
1
2
3
4
o
.
2) 极坐标与直角坐标的互化
x
o
y
y
x
10