MXT-高中数学奥赛系列辅导材料2：集合(一).docx

高中数学奥赛系列辅导材料 1
集合（一）
内容综述 ：
本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了
分析 ； n=7 时，集合 {7 ， 6， 5， 4 ， 3 ， 2， 1} 的非空子集有
个，虽然子集数目有限， 但是逐一计算各
自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到
集合 {1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7} 与 {1 ， 2， 3， 4， 5， 6} 的“交替和”是 7；可以想到把一
个不含 7 的集和 A 与 的“交替和” 之和应
为 7。那么，我们也就很容易解决这个问题了。
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解：集合 {1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7} 的子集中，除去 {7} 外还有
个非空子集合，把这
个非空子集两两结组后分别计算每一组
中“交替和”之和，结组原则是设 这是把
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结合为一组，显然，每组中，“交替和”
之和应为 7 ，共有 组 . 所以 , 所有“交替
和”之和应该为 。
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说明 ：我们在这道题的证明过程中用了这类题目最典型的解法。就是“对应”的方法，“对应”的方法在解决相等的问题中应用得更多。
例 2：设 A={1 ， 2， ， 2n.} ，证明： A 的任意 n+1 阶子集中，存在两个数，一个可被另一个整除。
分析 ：对于 2n 个数中取 n+1 个数，我们应该有一个直觉就是把这 2n 个数分成 n
组，每组都必然满足题目条件，那么由抽屉原则命题就解决了。
证明： 前 2n 个自然数中，共有 n 个奇数。根据自然数的一种有用的表达形式； n=(2k- 1) ·2
( ,L 为非负整数 ) 考查 A 的下列 n 个
子集，
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容易看到：
考虑 A 中任意 n+1 个元素，根据抽屉原则知，至少有两个元素是上述 n 个集合中
同一个集合中的元素，这两个数中，必有一个可被另一个整除。
说明 ：把一个集合分成若干个两两不交的子集的并，也则分拆，这种分拆的方法在解决集合的问题时为常用方法之一。