高中数学奥赛系列辅导材料.docx

集合（一）
内容综述：
本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分
配律、排中律、吸收律、补交转换律、德

}
B={物理 秀的人 }
C={化学 秀的人 }
已知 |A|=21|B|=19 |C|=20
这表明全班人数在 41 至 48人之间。
仅数学优秀的人数是
可见仅数学优秀的人数在 4 至 11人之间。
同理仅物理优秀的人数在 3 至 10人之间。
同理仅化学优秀的人数在 5 至 12人之间。
解：（略）。
说明：先将具体的实际生活中的问题数学化，然后根据数学理论来解决这个问题不仅是竞赛中常见情况，也是在未来学****中数学真正有用的地方。
例 4： n 元集合具有多少个不同的不交子集对？
分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可
以求出总的子集对来了。
解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集
则第一个子集若是 k 个元素，第二个子集就由其余 n-k个元素组成，可能的情况是

，
种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为

种，那么

k从

o 变到

n，总的情
况可能就是

。如果子集对是无序的，即两个子集相同但
次序不同的子集对不认为不同，则

对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而

对
其它 个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，
因此有 个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数
为
分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。
解法二 ：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对
的总数 ，以下同解法一。
说明：本题为 1973年捷克的竞赛题，对题目的不同分析使我们得到了差异很
大的两个解法，解法一从题目要求想起，很容易想到，但解出最后解却不见得那么简单，而解法二的想法是类似于集合分析的想法，很难想到，但想出后比较容易求解，两个解法对比一下正体现了数学思维的两方面，一个是纯代数想法，以计算的方法替
代对题目更深层次的研究，另一个则是控掘题目本身的内在关系，找出最合适的解答 ，我们当然推荐第二种做法。
例 5：1992位科学家，每人至少与 1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。
分析：在与一个人 A 合作的人中我们找到 B。再说明一定有人与 A 和 B 都合
作过为 C。最后再说明有人与 A、 B、 C都合作过为 D，那么 A、 B、 C、 D 就是找的
人了。
证 明 ： 一 个 人 A。 不 妨 设 B 与 之 合 作 。 那 么
。即 C与
A和 B均合作过， 分别表示与 A、B合作过的人的集合。同样地，
。
所以存在 。则 A、 B、 C、 D 就是所求，证毕。
说明：把一个普通的叙述性问题转化为集合的语言描述的问题通常为解题的关键之处，也是同学们需加强的。
例 6：集合 X 由 n 个元素构成，对两个子集 ，求得集合
的元素个数，
证明：所有求得个数之和为 。
分 析 ： 我 们 先 考 虑 一 个 简 单 情 况 ， n= 时 有 四 个 集 合 ， 记 为
。
交集情况就是 。那么对 于 n 很
大时，我们有的不只是 4 个集合却可以以此形式分组。
证明： 因为集合 X总共有 个不同子集，所以 不同的有序子集对共有
，将所有子集对分为 个 4元组： 其
中 表示子集 的补集 X-A。交换子集对 的 4 元组中子集对的次序，得到的是同
一个四元组，事实上，由子集对 得到的 4 元组与由 得到的完全相同，
且 。
说明：复杂的问题先考虑简单的特殊的情况是一种最常用