一维波动方程.ppt

§ 2 一维波动方程 1《偏微分方程教程》第四章双曲型方程§ 2 一维波动方程 2 《偏微分方程教程》第四章双曲型方程§ §2 2 一维波动方程一维波动方程 . 齐次波动方程的 Cauchy 问题和特征线法最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题, 在忽略其边界的影响时,它可归结为如下的定解问题() 满足初始条件() 其中是一个正常数,函数是定义在区间上的已知函数. 2 0 0 tt xx u a u x t ? ??????????( 0) ( ) ( 0) ( ) , t u x x x u x x x ??? ? ?????????? ? ???????a 2 1 ( ) ( ) x C x C ? ?? ??( ) ????§ 2 一维波动方程 3 特征线法是求解一维双曲型方程 Cauchy 问题最基本的方法, 这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知, 方程() 的特征方程是由此求得特征曲线为其中为任意常数. 为了将方程() 化成第一标准型, 引入自变量变换即把特征线当作坐标线,则方程() 变成() 2 2 2 0 dx a dt ? ?? 1 2 x at c x at c ? ????? 1 2 c c ? x at x at ? ?? ????? 0u ??? ?《偏微分方程教程》第四章双曲型方程§ 2 一维波动方程 4 《偏微分方程教程》第四章双曲型方程改写() 为可以看出不依赖于变量, 于是有其中是的任意连续可微函数, 再对积分, 得到若令,可得其中和都是任意的二阶连续可微函数. 回到原来的变量和, 于是波动方程() 的通解为() 0 u ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? u????( ) u f ??? ? f??( ) ( ) ( ) u f d G ?? ???? ? ???( ) ( ) F f d ? ????( ) ( ) ( ) u F G ?? ??? ? ?? F G xt ( ) ( ) ( ) u x t F x at G x at ? ? ????§ 2 一维波动方程 5 《偏微分方程教程》第四章双曲型方程现在我们利用初始条件() 来确定任意函数和, 由等式() 有对等式() 积分, 得出其中是任意常数. 由等式() 和() 解出和为代入(), 我们得到这个公式称为 Cauchy 问题的达朗贝尔(D’Alembert )公式. F G ( 0) ( ) ( ) ( ) u x F x G x x ?? ? ?????( 0) ( ) ( ) ( ) t u x a F x G x x ?? ?? ????? 01 ( ) ( ) ( ) x F x G x d c a ???? ?? ??? 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 xc F x x d a ? ???? ? ??? 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 xc G x x d a ? ???? ? ??? c 1 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 2 x at x at u x t x at x at d a ? ? ?????? ? ??????() () () § 2 一维波动方程 6 《偏微分方程教程》第四章双曲型方程到目前为止, 表达式() 还只能说是 Cauchy 问题(), () 的形式解. 为了使它确实是 Cauchy 问题(), () 的解, 我们需要对初值加上一定的条件. 定理 若, 则由 D’Alembert 公式() 表示的函数是Cauchy 问题(), () 解. 证明留作****题,请读者自己完成. 下面我们讨论 Cauchy 问题(), () 解的稳定性. (